¿Cuáles son los modos de vibración en un resorte oscilante?

Estoy viendo el problema de un oscilador acoplado, donde tenemos 3 resortes conectados entre dos paredes de la siguiente manera: pared, luego resorte (k), luego masa (m), luego resorte (2k), luego masa (m) , luego resorte (k), luego pared.

He calculado las frecuencias características (creo) usando el hecho de que tendremos

$$m \dfrac{d^2x}{dt^2}=-kx+2k(y-x)=-3kx+2ky$$ y $$m\dfrac{d^2y}{dt^2}=-ky-2k(y-x)=-3ky+2kx.$$

Así tenemos en un nuevo sistema de coordenadas

$$m\pmatrix{\ddot{X}\\\ddot{Y}}=k\pmatrix{-3&-2\\2&-3}\pmatrix{x\\y}.$$

Evaluando la matriz en la expresión anterior obtengo Autovalores$\mu_1=-5$y$\mu_2=-1$. Los vectores propios unitarios serán

$$\hat{e}_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\1}$$ y $$\hat{e}_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\-1}.$$

Así que en el nuevo sistema de coordenadas que tengo

$$\pmatrix{\ddot{X}\\\ddot{Y}}=\dfrac{k}{m}\pmatrix{\mu_1&0\\0&\mu_2}\pmatrix{X\\Y}.$$ Esto implica que $$\ddot{X}=-\dfrac{5k}{m}X$$ y $$\ddot{Y}=-\dfrac{k}{m}Y.$$

Resolviendo estas ecuaciones obtenemos

$$X=Asin(\omega_1t+\alpha)$$ y $$Y=Bsin(\omega_2t+\beta),$$ dónde $\omega_1=\sqrt{\dfrac{5k}{m}}$y $\omega_2=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

Ahora necesito encontrar la frecuencia característica y el modo de vibración. (Por favor, no dé ninguna respuesta ya que esta es una tarea que me gustaría resolver por mí mismo).

Q1 . ¿Estoy en lo correcto al pensar que la frecuencia característica es simplemente$f=\omega/2\pi$, o estoy malinterpretando cuál es la frecuencia característica?

Q2 . ¿Cuál es el modo de vibración? Entiendo qué es esto para una onda longitudinal que oscila entre dos puntos fijos, pero creo que este sistema es transversal, y estoy luchando por pensar cuáles podrían ser los modos de vibración.

Por favor, ¿alguien puede verificar si mi comprensión de cuál es la frecuencia característica es correcta y, de no ser así, podría explicar qué es? Además, ¿alguien puede explicar cuál es el modo de vibración en un sistema transversal como este?