Ecuaciones diferenciales acopladas: ¿cómo escribir en términos de una sola coordenada? [cerrado]

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Ecuaciones diferenciales acopladas: ¿cómo escribir en términos de una sola coordenada? [cerrado]

primavera
Física
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dpalma

Tengo un sistema masa-resorte, que es el siguiente:

He derivado las ecuaciones que son:

\begin{aligned} {METRO}_{1} \frac{d^{2} X_{1}}{d t^{2}} & = {METRO}_{1} gramo + k_{2} (X_{2} - X_{1} - L_{2}) - k_{1} (X_{1} - L_{1}) \\ {METRO}_{2} \frac{d^{2} X_{2}}{d t^{2}} & = {METRO}_{2} gramo - k_{2} (X_{2} - X_{1} - L_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} M_1 \frac{d^2x_1}{dt^2} &= M_1g + k_2(x_2 - x_1 - L_2) - k_1(x_1-L_1)\\ % M_2 \frac{d^2x_2}{dt^2} &= M_2g - k_2(x_2 - x_1 - L_2) \end{align}$

Sin embargo, me piden que encuentre una expresión para $x_2$ como una función de $x_1$ . No puedo pensar en una manera de hacer esto. Parece que me estoy perdiendo algo, ¿cómo puedo encontrar esa expresión?

EDITAR:

solo dijeron eso $x_1(0) = 1$ y $x_2(0) = 2$ , todos los parámetros son iguales a 1 y la cantidad de movimiento inicial es 0, por lo que asumo que el sistema se libera desde el reposo.

floris

Un sistema como este tendrá dos "modos normales": en un modo,

m_{1}

$m_1$ y

m_{2}

$m_2$ se mueven en la misma dirección; en el otro modo, cuando uno se mueve hacia arriba, el otro se mueve hacia abajo. Para condiciones de inicio arbitrarias, el movimiento será una combinación lineal de los dos. Sin saber cuáles son las condiciones iniciales no es posible hacer lo que pides. ¿Fue el sistema "liberado del reposo" o algo así?

dpalma

Ups he editado, solo dijeron eso

x_{1} (0) = 1

$x_1(0) = 1$ y

x_{2} (0) = 2

$x_2(0) = 2$ , todos los parámetros son iguales a 1 y la cantidad de movimiento inicial es 0, por lo que asumo que el sistema se libera desde el reposo.

floris

¿Están los resortes en su estado relajado en el momento en que se sueltan las masas? Vea si puede encontrar la frecuencia de los dos modos normales de este sistema. Véase, por ejemplo, este conjunto de notas . Expresar el movimiento en términos de funciones de base simples (armónicas) debería permitirle resolver esto.

usuario93237

Hay un "truco" estándar para resolver ecuaciones diferenciales lineales acopladas como esta. Suponga que las soluciones son de la forma x1=x1o Exp(iwt) y x2=x2o Exp(iwt). Las dos ecuaciones diferenciales se pueden reducir a una ecuación matricial que involucra el vector {x1o,x2o}.

dpalma

Entonces, ¿debo aplicar la superposición y encontrar una expresión? Sin embargo, no veo cómo resolver la ecuación real podría ayudarme a encontrar la expresión requerida. Otra información importante: se permite usar algunas herramientas numéricas para resolver esto (como la octava). Sin embargo, necesito la expresión, intenté usar la transformada de Laplace pero fue inútil ...

DanielSank

¿Estás seguro de que quieres resolver

x_{2}

$x_2$ como una función de

x_{1}

$x_1$ ? @Floris, ¿entiende el valor de eliminar el tiempo para obtener una coordenada en términos de la otra? ¿Es esto posible, ya que generalmente tal función no tendrá un solo valor?

dpalma

Sí, eso es lo que me piden. Ya me estoy rindiendo, no puedo pensar en una expresión como esa, he intentado muchos enfoques diferentes.

floris

@DanielSank no es una solución general lo que estamos buscando, es una solución específica, es decir, el modo "en fase" (dadas las condiciones iniciales). Eso lo hace bastante posible. El "valor" es simplemente el "¡hey, esto funciona!" momento que seguirá...

Respuestas (1)

Ecuaciones diferenciales acopladas: ¿cómo escribir en términos de una sola coordenada? [cerrado]

Un sistema como este tendrá dos "modos normales": en un modo, $m_1$ y $m_2$ se mueven en la misma dirección; en el otro modo, cuando uno se mueve hacia arriba, el otro se mueve hacia abajo. Para condiciones de inicio arbitrarias, el movimiento será una combinación lineal de los dos. Sin saber cuáles son las condiciones iniciales no es posible hacer lo que pides. ¿Fue el sistema "liberado del reposo" o algo así?
Ups he editado, solo dijeron eso $x_1(0) = 1$ y $x_2(0) = 2$ , todos los parámetros son iguales a 1 y la cantidad de movimiento inicial es 0, por lo que asumo que el sistema se libera desde el reposo.
¿Están los resortes en su estado relajado en el momento en que se sueltan las masas? Vea si puede encontrar la frecuencia de los dos modos normales de este sistema. Véase, por ejemplo, este conjunto de notas . Expresar el movimiento en términos de funciones de base simples (armónicas) debería permitirle resolver esto.
Hay un "truco" estándar para resolver ecuaciones diferenciales lineales acopladas como esta. Suponga que las soluciones son de la forma x1=x1o Exp(iwt) y x2=x2o Exp(iwt). Las dos ecuaciones diferenciales se pueden reducir a una ecuación matricial que involucra el vector {x1o,x2o}.
Entonces, ¿debo aplicar la superposición y encontrar una expresión? Sin embargo, no veo cómo resolver la ecuación real podría ayudarme a encontrar la expresión requerida. Otra información importante: se permite usar algunas herramientas numéricas para resolver esto (como la octava). Sin embargo, necesito la expresión, intenté usar la transformada de Laplace pero fue inútil ...
¿Estás seguro de que quieres resolver $x_2$ como una función de $x_1$ ? @Floris, ¿entiende el valor de eliminar el tiempo para obtener una coordenada en términos de la otra? ¿Es esto posible, ya que generalmente tal función no tendrá un solo valor?
Sí, eso es lo que me piden. Ya me estoy rindiendo, no puedo pensar en una expresión como esa, he intentado muchos enfoques diferentes.
@DanielSank no es una solución general lo que estamos buscando, es una solución específica, es decir, el modo "en fase" (dadas las condiciones iniciales). Eso lo hace bastante posible. El "valor" es simplemente el "¡hey, esto funciona!" momento que seguirá...

floris · Answer 1

Siguiendo el enfoque general dado en este enlace , podemos escribir las ecuaciones de movimiento y resolver los modos normales.

estoy usando $x_1$ y $x_2$ como el desplazamiento del equilibrio ya que solo elimina unos pocos $m\cdot g$ , $-L_1$ y $-L_2$ pero por lo demás no cambia el resultado de forma fundamental. Luego puede adaptar este enfoque para resolver su problema exacto.

Las ecuaciones de movimiento se convierten en:

\begin{matrix} (1) & {metro}_{1} {\ddot{X}}_{1} = - k_{1} X_{1} + k_{2} (X_{2} - X_{1}) \end{matrix}

$m_1 \ddot x_1 = -k_1 x_1 + k_2(x_2 - x_1)\tag1$

\begin{matrix} (2) & {metro}_{2} {\ddot{X}}_{2} = - k_{2} (X_{2} - X_{1}) \end{matrix}

$m_2 \ddot x_2 = -k_2(x_2 - x_1)\tag2$

Si asumimos que existe una solución, será de la forma:

\begin{matrix} (3) & X_{1} = a_{1} porque (ω t) \end{matrix}

$x_1 = a_1 \cos(\omega t)\tag3$

\begin{matrix} (4) & X_{2} = a_{2} porque (ω t) \end{matrix}

$x_2 = a_2 \cos(\omega t)\tag4$

dónde $a_1$ y $a_2$ puede ser complejo (esto permitiría una diferencia de fase arbitraria entre el movimiento de las dos masas), entonces podemos encontrar la relación entre $\omega$ , $a_1$ y $a_2$ :

- {metro}_{1} ω^{2} a_{1} porque ω t = - k_{1} a_{1} porque ω t + k_{2} (a_{2} - a_{1}) porque ω t - {metro}_{2} ω^{2} a_{2} porque ω t = - k_{2} (a_{2} - a_{1}) porque ω t

$- m_1 \omega^2 a_1 \cos\omega t = -k_1 a_1 \cos\omega t + k_2(a_2 - a_1)\cos\omega t\\ -m_2 \omega^2a_2 \cos\omega t = -k_2(a_2-a_1)\cos\omega t$

dividiendo $\cos\omega t$ y reordenando, obtenemos dos ecuaciones para $a_1$ y $a_2$ :

\begin{aligned} (5) & (- {metro}_{1} ω^{2} + k_{1} + k_{2}) a_{1} - k_{2} a_{2} & = 0 \\ (6) & k_{2} a_{1} + ({metro}_{2} ω^{2} - k_{2}) a_{2} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\left(-m_1\omega^2 +k_1+k_2\right) a_1 -k_2 a_2 &= 0\tag5\\ k_2 a_1 + \left(m_2 \omega^2 - k_2\right)a_2&= 0 \tag6 \end{align}$

Dado que el lado derecho es cero para estas ecuaciones, la única solución no trivial será cuando el determinante de la izquierda sea cero, o

(- {metro}_{1} ω^{2} + k_{1} + k_{2}) ({metro}_{2} ω^{2} - k_{2}) + k_{2}^{2} = 0

$\left(-m_1\omega^2 +k_1+k_2\right) \left(m_2 \omega^2 - k_2\right)+k_2^2 = 0$

Poniendo $\omega^2 = \Omega$ , podemos resolver:

- {metro}_{1} {metro}_{2} Ω^{2} + ({metro}_{1} k_{2} + {metro}_{2} (k_{1} + k_{2})) Ω - k_{1} k_{2} = 0

$-m_1 m_2 \Omega^2 + (m_1 k_2 + m_2 (k_1+k_2)) \Omega - k_1 k_2 = 0$

Esto nos deja con una expresión desordenada para $\Omega = \omega^2$ .

Y luego se pone interesante.

De la "solución asumida" (3) y (4) se sigue inmediatamente que

\frac{X_{1}}{X_{2}} = \frac{a_{1}}{a_{2}}

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Y podemos encontrar la relación de amplitudes de la ecuación (5) o (6) sustituyendo nuestra solución por $\omega^2$ :

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{k_{2}}{- {metro}_{1} ω^{2} + k_{1} + k_{2}}

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{k_2}{-m_1\omega^2 +k_1+k_2}$

Te dejaré a ti revisar mis matemáticas, terminar la solución. Es posible que desee asegurarse de que la solución tenga sentido para un caso simple (como: ¿qué debería suceder cuando $m_1=0$ y $k_1 = k_2$ ?)

Eso tiene sentido, una última pregunta. Esa es la solución de la ecuación diferencial homogénea? para sumar los efectos de la gravedad tengo que incluir el término constante, ¿no?
Sí, tendría que incluir un término constante, pero eso solo produciría una compensación en la posición de equilibrio. Al definir $x_1$ como el desplazamiento del equilibrio eludo la necesidad de incluir $g$ . En cualquier caso, solo quería darte un comienzo... no hacer todo el trabajo por ti. Tenga en cuenta que la relación será diferente dependiendo del valor de $\omega$ - que depende del modo que estés viendo...
No entendí eso de g. si defines $x_1$ como desplazamiento del equilibrio nos desharíamos de L, teniendo: $m_1\ddot{x_1} = m_1g + k_2(x_2 - x_1) - k_1x_1$ mg está ahí, siendo la función de forzamiento. De todos modos, tengo una idea para resolver mi problema, gracias por su paciencia. Respuesta aceptada.

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