Modos normales del sistema de resorte de 3 masas

Esta pregunta puede parecer ingenua, pero no soy un estudiante de física y me quedé desconcertado aquí.

Hay tres masas colocadas en el plano y forman los 3 vértices de un triángulo equilátero. Cada dos de ellos están conectados por un resorte con constante de resorte k . Es bien sabido que este sistema tiene 6 modos normales:

  1. traslación en el eje x o y. Estos dos forman un 2d irre-rep de D 3 pero con una frecuencia cero de V
  2. una rotación pura. Esto corresponde al signo rep de D 3 .
  3. modo de respiración. Este es el representante de identidad de D 3 .
  4. modo de bombeo. (este tiene dos) Estos dos corresponden a la 2d irre-rep de D 3 pero con una frecuencia distinta de cero de V .

Mi pregunta surgió cuando estaba mirando el modo de rotación: ¿Cómo se ve este modo? Estaba pensando que es como lo siguiente:

No hay fuerzas restauradoras en los resortes: esto es fácil de ver, pero ¿cómo pueden las masas moverse a lo largo del círculo sin ninguna fuerza que las retenga? (¿para que no sean empujados por las fuerzas centrífugas?)

Respuestas (3)

Las masas que se mueven en un círculo deben tener una fuerza neta tirando hacia el centro. La fuerza será de la suma vectorial de los dos resortes a los que está unida cada masa. Las componentes de fuerza tangenciales a la trayectoria circular se cancelarán, pero las componentes en la dirección radial se sumarán y apuntarán hacia adentro. Esto requerirá que los resortes se estiren un poco.

Esto es como una combinación del modo de rotación y el modo de respiración. La pregunta a responder es, "¿los modos normales son una descomposición matemática o es posible realizar físicamente todos los modos normales?" Su pregunta destaca que el modo de rotación, por sí mismo, no puede ocurrir sin alguna contribución del modo de respiración.

@LaserMatter: Gracias por su respuesta, ¿entonces el modo de rotación es solo un modo derivado matemáticamente y no se puede realizar perfectamente en el mundo real?
@LaserMatter Al considerar más su muy buena respuesta, creo que el modo de rotación tiene los resortes estirados "incorporados", por lo que es realizable físicamente. ¿Lo que no es físicamente realizable es una rotación con resortes no estirados?
@Farcher, sí, estoy de acuerdo. El modo de respiración es una oscilación. Así que estaba equivocado. Tal vez eso es lo que sucede cuando respondo preguntas a altas horas de la noche. Pero el hecho de que el resorte se estire para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria sigue siendo cierto.

No hay fuerzas restauradoras en los manantiales: esto es fácil de ver, ......

No creo que esta afirmación sea correcta.
El modo de rotación tiene resortes estirados pero las masas no vibran, mientras que los modos de respiración y dos aplausos tienen las masas vibrando alrededor del centro de masa. Son esos resortes estirados los que proporcionan las fuerzas centrípetas en cada una de las masas que permiten que las masas giren alrededor de su centro de masa común.

Lo sé. Me acabo de dar cuenta de que el modo de rotación es un modo matemático y en el mundo real no puede haber un modo de rotación puro...
@Zhao_L esa es la forma correcta de pensarlo, aunque su conclusión sea incorrecta. El concepto matemático habitual de "modos normales" se refiere a desplazamientos infinitesimalmente pequeños desde la condición inicial, es decir, un movimiento muy pequeño a lo largo de los vectores tangentes al círculo a través de las tres masas. Pero la vida real no se preocupa por las aproximaciones matemáticas utilizadas para hacer un modelo lineal de pequeños desplazamientos, y en la vida real la estructura puede girar libremente con velocidad angular constante para cualquier ángulo arbitrariamente grande.
@alephzero Gracias! Entonces, estrictamente hablando, todos los modos son combinaciones de los modos normales solo en una vecindad infinitesimalmente pequeña del estado equilibrado y la imagen global que se muestra en el gif animado es, de hecho, matemáticamente incorrecta.

La rotación involucrará fuerzas centrípetas que deben ser contrarrestadas por una combinación de tensión en los resortes.

Hay muchos otros modos de vibración y sus armónicos para este sistema.

1- dos de las masas se pueden mantener separadas verticalmente a lo largo del eje y y la tercera masa se puede jalar a lo largo del eje x y soltar. El sistema vibraría por la tercera masa que va y viene a lo largo del eje x y las 2 masas pueden vibrar hacia arriba y hacia abajo a lo largo del eje y, siempre que los desplazamientos sean pequeños y no ocurra una colisión.

2- La misma configuración excepto que esta vez la tercera masa se tira hacia la derecha y hacia arriba, digamos una décima parte de la longitud del resorte y luego se suelta. Esta vez, las masas vibrarán en 3 pequeños círculos que tienen un diámetro de 2/3 décimas (aproximadamente) de la longitud del resorte, mientras que el sistema de orificios se balancea suavemente y gira alrededor de un centro redondo al azar.
Cambiando el xey del desplazamiento de la tercera masa, podemos forzar al sistema a algunos modos complejos de vibración.

3- por prueba y error podemos encontrar el punto adecuado donde si perturbamos las masas el sistema pasará por muchos modos de vibración y resonará alrededor de la frecuencia natural de cada modo y luego transitará a un modo diferente. Similar a la danza de un montón de moscas alrededor de una vela.

Pero, ¿no son estos otros modos solo combinaciones lineales de los seis modos citados por @LaserMatter?
Yo creo que no. Los modos que sugiero no tienen simetría con ninguno de los ejes o incluso simetría polar. Como en el ejemplo que di al mover la tercera masa a x+1, y+1, la fuerza restauradora inicialmente será la fuerza del resorte entre las masas 3 y 2 como tensión y las masas 1 y 3 como compresión, pero gradualmente la inercia de J de rotación del eje de masa 1 y 2 contribuirá a restaurar la fuerza. Luego, nuevamente, esta J cambiará debido al cambio de distancia entre la masa uno y la 2. Esto reducirá el efecto de las fuerzas iniciales. ¡Así el sistema pasará por nuevas fases de configuraciones vibratorias!
Modos normales del sistema de resorte de 3 masas
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