Movimiento de nnn cuerpos conectados con resortes

No es que la solución final se vea así. Más bien, está buscando todas las soluciones de esa forma ( modos normales ) por dos razones:

• ellos son faciles de encontrar

• Luego puede descomponer cualquier movimiento en una suma de modos normales. Esto viene de escribir sus ecuaciones de movimiento en la base normal*.

Entonces, primero resuelve los modos normales asumiendo una solución como la que escribiste allí. Luego escribes un sistema de ecuaciones que dice que las coordenadas son una combinación lineal de los modos normales. Al evaluar este conjunto de ecuaciones en algún instante de tiempo y equipararlo a un conjunto de condiciones iniciales, puede resolver la amplitud de cada modo normal. Aquí hay un ejemplo completo resuelto .

A menudo es suficiente saber cuáles son las frecuencias normales para predecir atributos como el espectro de absorción de una molécula.

* Tu ecuación tiene esta forma:$\frac{d^2\vec x}{dt^2}=A\vec x$. Al diagonalizar la matriz simétrica A, puede escribirla como una matriz diagonal$D$en una base diferente:$A=CDC^T$($C$es la matriz que toma coordenadas en la nueva base y te da posiciones en la antigua). Multiplicando la ecuación original por$C^T$a la izquierda y usando$C^TC=\mathbb I$, usted obtiene$\frac{d^2}{dt^2}C^T\vec x=DC^T\vec x$. Vocación$\vec y=C^T\vec x$las coordenadas normales, ahora tiene un conjunto de ecuaciones diferenciales desacopladas:$\frac{d^2y_n}{dt^2}=D_ny_n$. Su solución es$y_n=A_n\sin(\omega_nt+\phi_n)$, con$\omega_n=\sqrt{-D_n}$.

Si bien esto demuestra que tiene una base de modos normales, no realiza todo este procedimiento cada vez. Por lo general, solo propone soluciones de modo normal.