Interpretación de los modos normales a partir de la fórmula matemática.

Debe notar que la otra coordenada normal está implícita en cero mientras considera el movimiento a lo largo de la coordenada normal$n_1$.

Las coordenadas normales de dos partículas (o bloques en este caso) generalmente se pueden escribir como

$$\begin{align} n_1 =& a_{11} x_1 + a_{12} x_2, \\ n_2 =& a_{21} x_1 + a_{22} x_2.\label{eq: n1n2}\tag{1} \end{align}$$ En tu caso concreto,$a_{11}=1/2$y$a_{12} =1/2$. no calculé$a_{21}$y$a_{22}$, pero debería poder hacerlo de acuerdo con la definición de los modos normales.

El conjunto de ecuaciones anterior se puede resolver para$x_1$y$x_2$en forma de

$$\begin{align} x_1 =& b_{11} n_1 + b_{12} n_2, \\ x_2 =& b_{21} n_1 + b_{22} n_2, \label{eq: x1x2}\tag{2} \end{align}$$ dónde$b_{ij}$están determinados por$a_{ij}$. De hecho, al escribir los conjuntos de ecuaciones anteriores mediante matrices y vectores, puede confirmar que $$\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} ^{-1}, \end{equation}$$ dónde$A^{-1}$significa la matriz inversa de una matriz$A$.

El primer conjunto de ecuaciones ($\ref{eq: n1n2}$) dan la transformación de coordenadas a partir de las coordenadas$(x_1,x_2)$que fue conveniente para su medición y otras operaciones a las coordenadas normales$(n_1,n_2)$que es conveniente para el cálculo y algún tipo de interpretación asociada con el cálculo. El segundo conjunto ($\ref{eq: x1x2}$) da la transformación inversa. Es decir, una vez que calculó la evolución temporal$n_1(t)$y$n_2(t)$individualmente al resolver las ecuaciones diferenciales, puede predecir el movimiento$x_1(t)$y$x_2(t)$de las partículas respectivas por ($\ref{eq: x1x2}$).

Las ecuaciones diferenciales para las coordenadas normales son

$$\begin{equation} \frac{d^2 n_i}{dt^2} = -\omega_i^2 n_i(t), \end{equation}$$ para$i=1,2$, dónde$\omega_i^2$son constantes, siempre que la fuerza que actúa sobre el bloque$l$es de la forma$F_l = - \sum_j c_{lj} x_j$con algunas constantes$c_{lj}$como es el caso de su problema. La función,$n_2(t) = 0$para todos$t$, es una solución válida para esta ecuación para la condición inicial,$n_2(0) =0$y$[dn_2/dt](0) =0$. Supongamos que esta condición se satisface a través de ( $\ref{eq: n1n2}$) por valores particulares de$x_j(0)$y$[dx_j/dt](0)$($j=1,2$) que se preparan poniendo las manos en el sistema de resorte y masa en$t=0$. Estos$x_j(0)$y$[dx_j/dt](0)$($j=1,2$) determine también los valores iniciales de$n_1(0)$y$[dn_1/dt](0)$, y por lo tanto dar una solución particular$n_1(t)$de la ecuación diferencial anterior. Con este$n_1(t)$y$n_2(t) =0$, a través de ( $\ref{eq: x1x2}$), el movimiento de los bloques se ve como $$\begin{align} x_1(t) =& b_{11} n_1(t), \\ x_2(t) =& b_{21} n_1(t). \end{align}$$ Si$b_{11} =b_{21}$, entonces$x_1(t) =x_2(t)$, es decir, el movimiento de los dos bloques es el mismo. Deberías poder ver eso en realidad$b_{11} = b_{21}$para su sistema.

I) Ecuaciones de movimiento

Energía cinética :

$$T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\right)$$

Energía potencial

$$U=\frac{k}{2}\left(x_1^2+(x_2-x_1)^2+x_2^2\right)$$

con Euler Langrage obtienes:

$${\ddot x}_{{1}}+{\frac {2\,kx_{{1}}-kx_{{2}}}{m}}=0\tag 1$$

$${\ddot x}_{{2}}+{\frac {2\,kx_{{2}}-kx_{{1}}}{m}}=0\tag 2$$

II) Ecuaciones de movimiento: Modo normal

En el espacio normal las ecuaciones de movimiento serán:

$$\ddot n_1+\omega_1^2\,n_1=0\tag 3$$ $$\ddot n_2+\omega_2^2\,n_2=0\tag 4$$

para obtener las ecuaciones (3) y (4) tenemos que transformar las coordenadas$~x_1~,x_2$a$~n_1~,n_2$

esto se puede hacer con esas ecuaciones

$$n_1=\frac 12(x_1+x_2)$$ $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$ $\Rightarrow~$ $$x_1=n_1+n_2$$ $$x_2=n_1-n_2$$

con esta transformación se obtiene:

$$\ddot n_1+\frac km\,n_1=0\tag 5$$ $$\ddot n_2+\frac{3\,k}{m}\,n_2=0\tag 6$$

Observación:

obtienes la misma ecuación de resultados$(~5~,6~)$si obtienes esta transformación:

la coordenada del centro de masa para n_1:

$$n_1=\frac{m\,(x_1+x_2)}{2\,m}=\frac 12(x_1+x_2)$$ y $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$