Primavera-Masa-Péndulo "a través de las Leyes de Newton"

Un buen comienzo es hacer un diagrama de cuerpo libre de todas las partes. Marque las fuerzas conocidas y desconocidas. Recuerda que si tienes una fuerza$\mathbf{F}$en una parte en el punto de contacto con otra parte, en la parte en contacto tienes una fuerza$-\mathbf{F}$. Luego establezca una ecuación diferencial para el movimiento dadas las fuerzas totales en la(s) parte(s) de interés.

Has dado el primer paso, y es reconocer los grados de libertad del sistema ($x$y$\theta$). Llamemos al cuerpo del bloque [1] y al cuerpo de la esfera [2] y la longitud de la barra$\ell$.

• Cinemática
  • Expresar la posición de las articulaciones y los centros de masa en función de los grados de libertad. Por ejemplo $${\bf r}_{2} = ( x + \ell \sin \theta, -\ell \cos \theta,0)$$
  • Expresar las velocidades de rotación de manera similar $${\boldsymbol \omega}_2 = \dot{\theta} {\bf \hat{z}}$$
  • Toma la derivada total de la posición para encontrar la velocidad y luego la aceleración de los centros de masa. Por ejemplo $${\bf v}_2 = (\dot{x} + \dot{\theta} \ell \cos\theta, \dot{\theta} \ell \sin \theta,0)$$ y $${\bf a}_2 = (\ddot{x} + \ddot{\theta} \ell \cos\theta - \ell \dot{\theta}^2 \sin \theta, \ddot{\theta} \ell \sin \theta + \ell \dot{\theta}^2 \cos \theta,0)$$
  • Tome la derivada total de la velocidad de rotación para la aceleración de rotación $${\boldsymbol \alpha}_2 = \ddot{\theta}{\bf \hat{z}}$$
• Dinámica
  • Haz un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo y suma las fuerzas en cada cuerpo y las torsiones alrededor de cada centro de masa en cada cuerpo. Para cada articulación aplicar fuerzas de reacción apropiadas sobre el siguiente cuerpo, e iguales y opuestas sobre el anterior. Por ejemplo (considerando la tensión$T$, fricción$f_1$y fuerza normal$n_1$) $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = {\bf T}_{12} + {\bf W}_1 & \Sigma {\bf F}_2 & = -{\bf T}_{12} + {\bf W}_2 \\ & = \begin{pmatrix} T \sin\theta+f_1 \\ -T \cos\theta-m_1 g+n_1 \\ 0 \end{pmatrix} & & = \begin{pmatrix} -T \sin\theta \\ T \cos\theta-m_2 g \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ _{${\bf W}$designa fuerzas aplicadas y${\bf T}$fuerzas conjuntas internas}
  • Ecuaciones de movimiento $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = m_1 {\bf a}_1 &\Sigma {\bf F}_2 & = m_2 {\bf a}_2 \\ \Sigma {\bf M}_1 & = I_1 {\boldsymbol \alpha}_1 + {\boldsymbol \omega}_1 \times I_1 {\boldsymbol \omega}_1 & \Sigma {\bf M}_2 & = I_2 {\boldsymbol \alpha}_2 + {\boldsymbol \omega}_2 \times I_2 {\boldsymbol \omega}_2 \end{align}$$ _{Se debe tener cuidado en los problemas 3D para expresar el momento de masa de la matriz de inercia a lo largo de las coordenadas del mundo y no las coordenadas del cuerpo.$I = {\rm R} I_{body} {\rm R}^\top$}