Sistema de Muelles Acoplados (3 masas 3 muelles)

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Sistema de Muelles Acoplados (3 masas 3 muelles)

masa
primavera
Física
osciladores acoplados
mecanica-newtoniana
deberes-y-ejercicios

Adán

Hola, tengo problemas para encontrar el modelo correcto para este sistema de resorte acoplado. El escenario es el siguiente que tenemos: Techo - Muelle - Masa(1) - Muelle(2) - Masa(2) - Muelle (3) - Masa(3) Fin.

Se me ocurrió el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en segundo orden para modelar este problema.

$x_1^{''}=[-k_1x_1-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_3-x_2)]/m_1$

$x_2^{''}=[-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_3-x_2)]/m_2$

$x_3^{''}=-k_3(x_3-x_2)/m_3$

¿Es este el modelo correcto? Luego, estoy tratando de linealizar estas ecuaciones en 6 ecuaciones diferenciales que puedo ingresar en matlab y trazar la posición de cada resorte.

Así que los linealicé y obtuve lo siguiente:

$y_1^{'}=y_2$

$y_2^{'}=(-k_1y_1-k_2(y_3-y_1)-k_3(y_5-y_3)/m_1$

$y_3^{'}=y_4$

$y_4^{'}=(-k_2(y_3-y_1)-k_3(y_5-y_3)/m_2$

$y_5^{'}=y_6$

$y_6^{'}=(-k_3(y_5-y_3))/m_3$

No estoy seguro de si esto es correcto o no. Cuando los trazo en Matlab, no obtengo una onda sinusoidal. Una gran ventaja si me pueden decir cómo puedo animar este sistema en matlab para que pueda ver el cambio de posición en los tres resortes.

dmckee --- gatito ex-moderador

No espera sinusoides simples, excepto en algunos casos especiales.

Adán

¿Qué quieres decir? Entonces el modelo es correcto?

dmckee --- gatito ex-moderador

No tengo idea si el modelo es correcto o no, pero no encontrar sinusoides simples, en sí mismo, no indica un error. Hay algunos modos regulares, pero encontrarlos es un problema de valor propio y no estoy seguro si conoce ese término y lo que implica.

Adán

Sé lo que son los valores propios, pero por lo general los valores propios de los sistemas de masa de resorte son complejos.

Jinawee

IIRC, este ejemplo se resuelve en Mecánica Clásica de Taylor.

Adán

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Respuestas (1)

Sistema de Muelles Acoplados (3 masas 3 muelles)

No espera sinusoides simples, excepto en algunos casos especiales.
No tengo idea si el modelo es correcto o no, pero no encontrar sinusoides simples, en sí mismo, no indica un error. Hay algunos modos regulares, pero encontrarlos es un problema de valor propio y no estoy seguro si conoce ese término y lo que implica.
Sé lo que son los valores propios, pero por lo general los valores propios de los sistemas de masa de resorte son complejos.
IIRC, este ejemplo se resuelve en Mecánica Clásica de Taylor.

Juan Alexiou · Answer 1

Del diagrama de cuerpo libre debes tener

\begin{aligned} {metro}_{1} {\ddot{X}}_{1} & = F_{1} - F_{2} \\ {metro}_{2} {\ddot{X}}_{2} & = F_{2} - F_{3} \\ {metro}_{2} {\ddot{X}}_{3} & = F_{3} \end{aligned}

$\begin{align} m_1 \ddot{x}_1 &= F_1 - F_2 \\ m_2 \ddot{x}_2 &= F_2 - F_3 \\ m_2 \ddot{x}_3 &= F_3 \end {align}$

con las fuerzas de resorte definidas como

\begin{aligned} F_{1} & = - k_{1} X_{1} \\ F_{2} & = - k_{2} (X_{2} - X_{1}) \\ F_{3} & = - k_{3} (X_{3} - X_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} F_1 & = -k_1 x_1 \\ F_2 & = -k_2 (x_2-x_1) \\ F_3 & = -k_3 (x_3-x_1) \end{align}$

Lo anterior se combina como

[\begin{matrix} {metro}_{1} & 0 & 0 \\ 0 & {metro}_{2} & 0 \\ 0 & 0 & {metro}_{3} \end{matrix}] (\begin{matrix} {\ddot{X}}_{1} \\ {\ddot{X}}_{2} \\ {\ddot{X}}_{3} \end{matrix}) = - [\begin{matrix} k_{1} + k_{2} & - k_{2} & 0 \\ - k_{2} & k_{2} + k_{3} & - k_{3} \\ 0 & - k_{3} & k_{3} \end{matrix}] (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \end{matrix})

$\begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0& m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \\ \ddot{x}_3 \end{pmatrix} = - \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 & 0 \\ -k_2 & k_2 + k_3 & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} {x}_1 \\ {x}_2 \\ {x}_3 \end{pmatrix}$

Lo cual creo que coincide con tus ecuaciones (tienes que verificar).

Para hacer ODEesto, necesitas un vector de estado.

y = (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

$y = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

y su derivado

\dot{y} = A y

$\dot{y} = A\,y$

(\begin{matrix} {\dot{X}}_{1} \\ {\dot{X}}_{2} \\ {\dot{X}}_{3} \\ {\dot{v}}_{1} \\ {\dot{v}}_{2} \\ {\dot{v}}_{3} \end{matrix}) = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \frac{k_{1} + k_{2}}{{metro}_{1}} & \frac{k_{2}}{{metro}_{1}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{k_{2}}{{metro}_{2}} & - \frac{k_{2} + k_{3}}{{metro}_{2}} & \frac{k_{3}}{{metro}_{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{k_{3}}{{metro}_{3}} & - \frac{k_{3}}{{metro}_{3}} & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{v}_1 \\ \dot{v}_2 \\ \dot{v}_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \frac{k_1+k_2}{m_1} & \frac{k_2}{m_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{k_2}{m_2} & - \frac{k_2+k_3}{m_2} & \frac{k_3}{m_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{k_3}{m_3} & - \frac{k_3}{m_3} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Mientras $\ddot{x}_i \propto - x_i$ habría una respuesta armónica. Si no ve esto, entonces hay algo mal en la forma en que está usando ode45().

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Adán

dmckee --- gatito ex-moderador

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Juan Alexiou

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