Series perturbativas para bosones

Es cierto que "la serie perturbativa es válida solo cuando el estado perturbado es cualitativamente similar al estado no perturbado". En general, la teoría de la perturbación es aceptable cuando el acoplamiento es débil, en cuyo caso el acoplamiento puede tratarse como una pequeña perturbación de la teoría del campo libre en todas las energías (por ejemplo, la teoría de Yukawa y$\phi^{4}$teoría.

El problema con la teoría de la perturbación surge cuando el acoplamiento no es débil, en cuyo caso la teoría de la perturbación NO PUEDE usarse. Esto conduce a teorías con fraccionamiento de carga, confinamiento y espacio emergente (correspondencia AdS/CFT).

Consulte la sección Campos interactivos de Tong Lecture notes sobre QFT para obtener más información http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html

Para ver el artículo original que muestra que los métodos de QFT se pueden usar en muchos sistemas de bosones, consulte el artículo de Beliaev http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_007_02_0289.pdf

1) ¿Somos capaces de realizar análisis perturbativos y usar expansión esquemática, función de Green, etc., todas estas cosas de teoría de campo [para bosones]?

En general, los métodos de teoría de campos (a temperatura finita o cero) se pueden aplicar tanto a bosones como a fermiones con ligeras diferencias que se originan en las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein. A modo de ejemplo, puede consultar

Fetter, AL y JD Walecka. “ Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas ” (1971).

La principal diferencia no está en el formalismo de muchos cuerpos, sino en el comportamiento físico de los sistemas de muchos cuerpos de bosones o fermiones; es decir, el estado fundamental bosónico es a menudo (pero no siempre) un BEC , mientras que el estado fundamental fermiónico es a menudo un líquido de Fermi . El ejemplo más simple de un sistema bosónico de muchos cuerpos aparece en el estudio de las vibraciones reticulares cuantificadas (que conducen a fonones que no interactúan [ver, por ejemplo, el capítulo 12 de la referencia anterior]), o la segunda forma cuantificada de las ecuaciones de Maxwell (que conducen a a los fotones que no interactúan ).

2) ¿Cuándo falla el método de las series perturbativas?

Esta es una pregunta muy amplia. Por lo general, el método perturbativo es válido para una magnitud suficientemente pequeña de la fuerza de interacción. Cuando aumenta la fuerza de la interacción, o cuando se introducen nuevos tipos de interacciones, el estado fundamental perturbador puede volverse inestable y conducir a la formación de un nuevo estado fundamental con propiedades completamente diferentes; esto es en realidad una transición de fase cuántica . Para el caso de los bosones, podría haber una transición de una fase superfluida a una fase aislante de Mott (ver, por ejemplo, Greiner, M. et al. , Nature 415, 6867 (2002): 39–44 < PDF >).

En un análisis perturbativo, la firma de tales transiciones de fase suele ser una divergencia en la reanudación perturbativa en un régimen particular de parámetros. Esto implica que la reanudación perturbativa correcta en los dos lados de la transición es diferente; es decir, se realizan alrededor de diferentes estados fundamentales e incluyen diferentes procesos físicos. Por ejemplo, en la transición superfluido-Mott mencionada anteriormente, el hamiltoniano es el modelo bosónico de Hubbard ,

donde el$i,j$son índices de sitio de celosía,$a_i^\dagger / a_i$son operadores de creación/aniquilación para bosones en la red ($\hat{n}_i$es el operador del número de partículas),$\epsilon_i$es la energía local de un bosón en un sitio de red, el término proporcional a$J$es la parte cinética (o 'saltando'), y el término proporcional a$U$representa una interacción local (espacial) entre los bosones. El estado fundamental está determinado esencialmente por la relación$U/J$, la fuerza relativa de la interacción local en comparación con la energía cinética. Si$U/J \ll 1$, el estado fundamental es un superfluido, es decir, una colección de bosones itinerantes ( deslocalizados ); si$U/J \gg 1$, el estado fundamental es un aislante de Mott con bosones fuertemente localizados . Los dos estados fundamentales son esencialmente diferentes, por lo que debe haber un punto de transición en valores intermedios,$U/J \approx 1$. La expansión perturbativa en la fase superfluida está alrededor de la parte cinética, con la suposición de que$U/J \ll 1$, mientras que la expansión perturbativa en la fase aislante de Mott es alrededor de la parte interactuante, asumiendo$J/U \ll 1$. Esto se puede entender más claramente al referirse al artículo citado de Greiner et al . Para un cálculo detallado consultar

Stoof, HTC “ Campos cuánticos ultrafríos ” (2014), cap. dieciséis.

Con las dos secciones anteriores, he tratado de explicar de manera concisa el párrafo citado del libro de Mattuck.

Finalmente, creo que la siguiente declaración,

Se puede solucionar este problema introduciendo propagadores anómalos como en la teoría BCS. En lo que respecta a los fermiones, la presencia del borde de Fermi asegura que las series de perturbaciones converjan

no es correcto tal como está. En primer lugar, no existe una "fijación" particular para el caso de los bosones; si el estado fundamental cambia, la expansión perturbativa debe realizarse alrededor del nuevo estado fundamental, independientemente de la propiedad fermiónica o bosónica del sistema , como se explicó anteriormente. En segundo lugar, la existencia de una superficie de Fermi no garantiza la convergencia de una serie perturbativa para un sistema fermiónico; un ejemplo de esto sería el problema de Kondo, para el cual la teoría de la perturbación falla a bajas temperaturas, pero el estado fundamental es un líquido de Fermi con una superficie de Fermi adecuada [ver, por ejemplo, Nozières, P. “The Kondo problem: Fancy mathtechnics versus ideas físicas simples”. proc. 14ª Conferencia Baja temperatura. Phys., parte V, Finlandia (agosto de 1975), 339–374].

1) Debo señalar que la mayoría de las expansiones perturbativas que son de interés en física no son formalmente convergentes (y, en la mayoría de los casos, tampoco son resumibles por Borel).

2) Hay muchos ejemplos de útiles cálculos perturbativos para bosones. El ejemplo más antiguo (probablemente) en la física de muchos cuerpos es el cálculo de la energía por partícula del gas Bose de esfera dura débilmente no ideal, véase TD Lee y С N. Yang, Phys. Rev., 105:1119 1957. Otros ejemplos incluyen el cálculo de los exponentes críticos en$\phi^4$teoría (usando la expansión épsilon). En física de partículas no hay tantas teorías puramente bosónicas. Un ejemplo sería el cálculo de la ecuación de estado de un plasma de gluones puros a alta temperatura (que es perturbativo por la libertad asintótica).

3) De hecho, existen algunas diferencias entre bosones y fermiones. A temperatura finita, la distribución de Bose-Einstein tiene$T/\omega$divergencia, mientras que las estadísticas de Fermi-Dirac conducen al bloqueo de Pauli. El$T/\omega$conduce a varios problemas de IR, pero en el acoplamiento débil, estos generalmente se pueden tratar mediante la reanudación ("teoría de la perturbación filtrada"). El bloqueo de Pauli mejora la expansión perturbativa en las teorías fermiónicas. Esta es la base de la teoría líquida de Landau, que sugiere que puede existir una expansión perturbativa incluso si el acoplamiento subyacente es fuerte. Sin embargo, i) los parámetros del líquido de Landau son en sí mismos parámetros no perturbadores, ii) el estado fundamental del líquido de Landau suele ser inestable en última instancia (hacia la condensación, la congelación, el magnetismo, etc.).