Derivación de la regla de oro de Fermi de la vida útil de los cuasielectrones

El siguiente argumento sigue básicamente esta prueba.

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La regla de oro es una consecuencia directa de la ecuación de Schrödinger, resuelta al orden más bajo en la perturbación$H'$del hamiltoniano,

$$\left(H_{0}+H'-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial }{\partial t}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,$$

dónde$E_n$y$|n⟩$son los valores propios estacionarios y las funciones propias de$H_0$.

Reescriba esta ecuación como la de la evolución temporal de los coeficientes a$a_{n}(t)$,

$$\mathrm{i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.$$

Esta ecuación es exacta pero normalmente no se puede resolver en la práctica.

Para una perturbación constante débil$H'$que se enciende en$t=0$, podemos usar la teoría de la perturbación. Es decir, si$H ′ = 0$es evidente que un$a_{n}(t)=\delta_{n,i}$, que simplemente dice que el sistema permanece en el estado inicial$i$.

para estados$k\neq i$,$a_{k}(t)$se vuelve distinto de cero debido a$H'\neq 0$y se supone que estos son pequeños debido a la débil perturbación. Por lo tanto, uno puede reemplazar el orden cero de una$a_{n}(t)=\delta_{n,i}$en la ecuación anterior para obtener la primera corrección de las amplitudes$a_{k}(t)$,

$$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },$$

que se integra a

$$\mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}$$

para$\omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar$, para un estado con$a_i(0) =1, a_k(0)=0$, pasando a un estado con$a_k(t)$(de nuevo,$k\neq i$).

La tasa de transición es entonces

$$\Gamma_{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},$$

a$sinc$función picos bruscamente para pequeños$\omega$. En$\omega =0$,$\sin(\omega t)/\omega =t$, por lo que la tasa de transición varía linealmente con$t$por un estado aislado$|k\rangle$!

Por contraste dramático, para estados de energía$E$integrados en un continuo, todos deben ser contabilizados colectivamente. Para una densidad de estados por unidad de intervalo de energía$\rho(E)$, deben estar integrados sobre sus energías, y de ahí el correspondiente$\omega$s,

$$\Gamma_{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}.$$

Para grande$t$, el$sinc$la función alcanza su punto máximo en$\omega\approx 0$, y despreciable fuera$[-2\pi/t,2\pi/t]$; la densidad y el elemento de transición se pueden sacar de la integral, de modo que la tasa

$$\Gamma_{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}$$ ahora es meramente proporcional a una integral de Dirichlet constante,$\pi$.

La dependencia del tiempo se ha desvanecido y sigue la tasa constante de decaimiento de la regla de oro.

Como constante, subyace a las leyes de desintegración exponencial de partículas de la radiactividad. (Sin embargo, durante tiempos excesivamente largos, el crecimiento secular de la$a_k(t)$s invalida la teoría de la perturbación de orden más bajo, que requiere$a_k<< a_i$.)

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Si te ayuda, intenta echar un vistazo a este artículo http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527665709.app6/pdf