Si enfriamos un sistema ordenado topológicamente a temperatura cero, ¿acabará en un estado fundamental puro o mixto?

Si un sistema cuántico con estados fundamentales degenerados es totalmente ergódico a temperatura cero, entonces se mezcla al máximo sobre la variedad de estados fundamentales (GS); es decir, su matriz de densidad ρ es el operador de proyección en el espacio propio de energía más baja del hamiltoniano.

Pero si la degeneración de GS resulta de una simetría global, entonces siempre encontramos experimentalmente que el sistema no está en el estado mixto ergódico, sino en un estado puro que rompe la simetría. Por ejemplo, para el modelo de Ising cuántico transversal con "todo arriba" degenerado | ↑ ⟩ y "todo abajo" | ↓ ⟩ estados fundamentales, nunca encontramos un sistema experimental que esté en el estado mixto ergódico y simétrico ρ = 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | , pero en cambio en uno de dos estados puros asimétricos | ↑ ⟩ o | ↓ ⟩ .

(Exactamente cómo interpretar esta declaración es un tema extremadamente sutil ; baste decir que ningún experimentador ve una lectura de medidor " S i z = 0 ", pero en su lugar o bien" S i z = + 1 2 " o " S i z = − 1 2 ". Algunos argumentarían que desde la perspectiva de muchos mundos, el sistema está en tal mezcla incoherente, pero está enredado con el experimentador de tal manera que no puede ver ambas ramas simultáneamente).

Ahora considere un sistema donde la degeneración GS no resulta de una simetría global sino de un orden topológico, por ejemplo, una realización física del código tórico con condiciones de contorno periódicas, cuya variedad GS tiene una degeneración cuádruple robusta (topológicamente protegida). Si tuviéramos que enfriar un sistema físico de este tipo hasta la temperatura cero, sin hacer ningún esfuerzo especial para mantener la coherencia cuántica, ¿en qué estado terminaría?

Podría imaginar tres posibilidades plausibles:

  1. El estado ergódico, máximamente mixto
    ρ = 1 4 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 4 | 2 ⟩ ⟨ 2 | + 1 4 | 3 ⟩ ⟨ 3 | + 1 4 | 4 ⟩ ⟨ 4 | .
  2. Un estado puro mínimamente entrelazado (MES).
  3. Un estado fundamental puro aleatorio (es decir, una superposición coherente de los cuatro MES con coeficientes aleatorios).

El argumento a favor de la posibilidad #2 es por analogía con la ruptura de la simetría global, en la que la mezcla ergódica sobre toda la variedad GS se descompone en uno de unos pocos estados puros "especiales, físicamente naturales" (en el caso de la ruptura de la simetría global, los estados como | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ que respetan la propiedad de descomposición de conglomerados). El argumento para la posibilidad #1 es que para el código tórico, todos los estados puros en la variedad GS respetan la descomposición de grupos, por lo que no hay razón para que la decoherencia rompa la ergodicidad. El argumento para la posibilidad #3 es que la decoherencia descompondría la ergodicidad en un estado puro como en SSB global, pero como todos los estados en la variedad GS respetan la descomposición de grupos, los no-MES son físicamente tan naturales como los MES.

¿Existe algún consenso sobre cuál de estas posibilidades se observaría en un experimento real?

# 1 y # 3 son en realidad iguales, o al menos, no hay una diferencia observable entre ellos. Un conjunto de estados puros aleatorios con distribución uniforme es, por definición, el estado de máxima mezcla.
En realidad, #2 también es lo mismo que #1 y #3. Dado que no hay ninguna razón por la que deba favorecerse un solo MES (y no hay forma de saber cuál se obtiene, sin medir los bucles de Wilson altamente no locales), nuestro estado de conocimiento sobre el sistema debe estar representado por una mezcla incoherente de todos el MES. Y ese es de nuevo el estado de máxima mezcla. La situación de la ruptura de simetría espontánea es diferente porque el parámetro de orden se puede medir localmente.
@DominicElse Ese segundo comentario realmente debería ser una respuesta.
@NorbertSchuch lo convertí en una respuesta.

Respuestas (1)

Permítanme tratar de expandir el comentario que escribí en una respuesta.

En primer lugar, haré un punto filosófico. Considere una partícula de espín-1/2. Podemos considerar dos bases diferentes. | ↑ ⟩ , | ↓ ⟩ (el S z base) o | + ⟩ , | − ⟩ (el S X base). No hay diferencia observable entre la declaración de que el sistema está en el estado | ↑ ⟩ o | ↓ ⟩ con igual probabilidad, y el enunciado de que el sistema está en el estado | + ⟩ o | − ⟩ con igual probabilidad, o de hecho el enunciado el enunciado de que el sistema es un estado aleatorio | ψ ⟩ muestreado de la medida uniforme en C 2 (el que es invariante bajo cualquier unitario). Todos ellos dan el estado de máxima mezcla. ρ = 1 2 I , a partir del cual se pueden calcular todas las estadísticas de medición. Dependiendo de la interpretación de QM a la que se suscriba, puede haber o no una diferencia ontológica . Pero esta respuesta solo considerará las diferencias observables.

Como tal, volviendo a la pregunta específica, no hay una diferencia observable entre las afirmaciones de que el sistema está en uno de los 4 MES con igual probabilidad (#2) y la afirmación está en un estado uniformemente aleatorio en todo el terreno de 4 dimensiones. subespacio de estado (#3). Ambos son equivalentes a la declaración de que el sistema está en un estado de máxima mezcla (#1).

Sin embargo, queda la siguiente posibilidad: ¿y si todos los MES no tienen la misma probabilidad? Aquí es instructivo considerar las diferencias entre el orden topológico y la ruptura espontánea de la simetría. En un modelo de Ising, por ejemplo, que rompe espontáneamente la simetría spin-flip a bajas temperaturas, hay un subespacio degenerado doble que corresponde a las dos posibles alineaciones de spin: llámelas | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ . Puede imaginar un experimento en el que inicia el sistema a una temperatura infinita y luego permite que se enfríe en una caja que le impide ver fácilmente la magnetización en el interior (por supuesto, la caja no puede estar completamente aislada, porque el calor tiene que pasar a través de ella). para enfriar el sistema). Entonces el experimentador no tiene información alguna acerca de si el sistema ha terminado en un | ↑ ⟩ estado o un | ↓ ⟩ estado. Entonces, antes de abrir la caja, la única distribución de probabilidad racional que puede asignar el experimentador es decir que tienen la misma probabilidad, por lo que el estado mixto que asignan al sistema es el estado mixto máximo sobre el subespacio del estado fundamental. Sin embargo, tan pronto como abran la caja, les será muy fácil observar la magnetización para saber de qué manera se alinearon los giros; de hecho, a menos que cierren los ojos, puede ser muy difícil para ellos no observar esta información. Esto "colapsa" la distribución de probabilidad y verán ↑ o ↓ (ya sea que esto corresponda a un colapso de la función de onda QM o simplemente una actualización clásica de probabilidades basada en nueva información depende de en qué base escribió el estado de mezcla máxima, que como se mencionó anteriormente son datos no observables).

Por el contrario, para un sistema ordenado topológicamente, los diferentes estados fundamentales son localmente indistinguibles. Por lo tanto, solo mirar el sistema no le da al experimentador ninguna información sobre en qué estado fundamental se encuentra el sistema, y ​​se ve obligado a continuar usando el estado de mezcla máxima para describir su estado de conocimiento. Por supuesto, si el experimentador tiene acceso a una computadora cuántica (por ejemplo), entonces podría hacer alguna medición (necesariamente muy no local) que le brinde información. Entonces, la naturaleza del estado resultante obviamente dependerá de qué observable elijan medir.

Nota al margen aleatoria: este tipo de cosas es la razón por la que soy escéptico con respecto a las interpretaciones de QM que afirman asignar alguna noción de "realidad" a la función de onda de QM. Los estados mixtos parecen mucho más físicos que los estados puros, y los estados mixtos son claramente una generalización de las distribuciones de probabilidad clásicas, que (no importa si eres bayesiano o frecuentista) nunca se consideran grados de libertad "reales".

¿Cómo permites que algo se enfríe en completo aislamiento? Necesita un lugar para que vaya la energía, lo que requiere interacción con el medio ambiente.
@probably_someone Buen punto. Debería haber dicho que la caja no permite que pase ninguna información sobre la magnetización de ninguna manera que sea fácilmente observable fuera de la caja. Obviamente necesitas algo de intercambio térmico. Actualizaré mi respuesta.
Sin embargo, ¿estás seguro de que el intercambio térmico sin ningún tipo de intercambio de información es posible? La equivalencia entre la entropía termodinámica y la entropía de la información parece sugerir lo contrario.
@probably_someone Es por eso que dije "fácilmente": la información siempre se filtrará, pero podría estar demasiado codificada para observarla en la práctica.
Creo que el punto clave que no aprecié completamente es que si solo tiene una copia de un sistema, entonces no hay forma de medir su valor de expectativa térmica para ningún operador. Si existiera tal dispositivo de medición, entonces podríamos usarlo para distinguir experimentalmente entre un qubit que está "ya sea en el | ↑ ⟩ o el | ↓ ⟩ estado puro, pero no sabemos cuál" (que devolvería ⟨ S z ⟩ = ± 1 / 2 ) de un qubit que está "en el estado mixto único 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | "
... (que volvería ⟨ S z ⟩ = 0 ). Pero en realidad, ningún dispositivo experimental devolvería la última medida, como mencioné en mi pregunta. En el mecanismo estadístico clásico, las cosas son diferentes porque, en principio, puede "clonar" de manera efectiva un solo sistema en un gran número simplemente haciendo mediciones que no interfieran una y otra vez. Pero en QM, no puede realizar una medición que no interfiera, porque cualquier medición cambia necesariamente el estado del sistema.
Si enfriamos un sistema ordenado topológicamente a temperatura cero, ¿acabará en un estado fundamental puro o mixto?
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