En física decimos que una cantidad se conserva, si su operador conmuta con hamiltoniano.
Por ejemplo, en sistemas de materia condensada, cuando el impulso conmuta con el hamiltoniano como , decimos que es una cantidad conservada.
Ahora tomamos el operador de simetría de inversión de tiempo . Cuando conmuta con nuestro hamiltoniano como , decimos que la simetría de inversión temporal se conserva para nuestro sistema.
Sin embargo, si tomamos la simetría del agujero de partículas y operador de simetría quiral , donde anti-conmutan con el hamiltoniano , decimos que se conservan las simetrías partícula-hueco y quiral.
Lo que realmente no entiendo es por qué usamos la relación anti-conmutación y no la relación de conmutación para encontrar si las simetrías quirales y de agujeros de partículas se conservan o no.
Primero, no decimos que "se conserva la simetría de inversión de tiempo". El impulso se conserva porque es el generador de una transformación continua, las traslaciones. Las simetrías discretas como la inversión del tiempo, que no generan una transformación continua, no inducen "leyes de conservación" en el sentido habitual de la palabra. Por un lado, no hay corriente de Noether para ellos, cf. esta pregunta y sus respuestas .
Una "simetría" quiral, es decir, una que anti-conmuta con el hamiltoniano, no es una simetría en el sentido estricto de, bueno, conmuta con el hamiltoniano. Tales "simetrías" quirales no están asociadas con cantidades conservadas (porque, nuevamente, no conmutan con el hamiltoniano, que es lo que significa ser conservado ).
Sin embargo, una "simetría" quiral es útil porque implica cosas sobre el espectro del hamiltoniano. por ejemplo, de , puede mostrar directamente que los valores propios distintos de cero del hamiltoniano vienen en pares: si es un estado propio para el valor propio , entonces es un estado propio para .
Tanto el operador de agujeros de partículas como el operador quiral conmutan con el segundo hamiltoniano cuantizado completamente. Es solo para el hamiltoniano de una sola partícula que resultan ser anticonmutantes.
Para confirmar esta afirmación, mire hacia arriba.
Estas son las dos mejores referencias que realmente tocan este punto. Parece que se pasa por alto o se ignora (tal vez a propósito) en la mayoría de los demás lugares.