Estoy estudiando la construcción de las funciones de Wannier para el sistema 1D con condiciones de contorno periódicas y mi razonamiento parece ser un poco diferente de lo que puedo encontrar en los libros de texto.

En primer lugar, si mi celosía tiene$M$nodos entonces el vector de onda perteneciente a la 1ra zona de Brillouin es discreto y de la forma:

$$k_{n} = -\frac{\pi}{d}\left(\frac{2}{M}n - 1 \right)$$ dónde$n = 0, 1, \ldots, M$y$d$- espaciamiento de celosía. Entonces,$-\pi/d \le k_n \le \pi/d$. en total tenemos$M+1$valores diferentes. Una vez que hemos normalizado las funciones de Bloch$\psi_{n}(x)$Definiremos la función de Wannier como: $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{M+1}}\sum\limits_{n=0}^{M}\psi_{n}(x)$$ con$1/\sqrt{M+1}$coeficiente que asegura la normalización: $$\int\limits_{0}^{L}dx\ W^{*}(x)W(x) = 1$$ dónde$L = d\cdot M$. Usamos el hecho de que: $$\int\limits_{0}^{L}dx\ \psi^{*}_{n}(x)\psi_{m}(x) = \delta_{n,m}$$ La mayoría de los libros de texto definen la función Wannier con$1/\sqrt{M}$lo cual para mi gusto es incorrecto porque la función de Wannier no estaría correctamente normalizada. ¿Qué opinas?

Segunda cosa. Consideremos el caso más simple de partícula libre. Entonces las funciones de Bloch son las siguientes:

$$\psi_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{L}}e^{i k_n x}$$ Según mi definición de la función Wannier obtenemos: $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{L(M+1)}}\sum\limits_{n=0}^{M}e^{i k_n x} = \frac{1}{\sqrt{L(M+1)}}\frac{\sin\left[\frac{\pi}{d}\left(\frac{1}{M} + 1 \right)x\right]}{\sin\left[\frac{\pi}{d}\frac{1}{M}x\right]}$$ En los libros de texto, aparte de la diferencia ya mencionada entre$M$y$M+1$escriben: $$W(x) = \sqrt{\frac{M}{L}}\frac{\sin(x \pi/d)}{x \pi/d}$$ Comprobé numéricamente que para grandes$M$ $$\frac{\sin\left[\frac{\pi}{d}\left(\frac{1}{N} + 1 \right)x\right]}{\sin\left[\frac{\pi}{d}\frac{1}{N}x\right]} \approx M\frac{\sin(x \pi/d)}{x \pi/d}$$ ¿Sabes cómo mostrar eso?

ACTUALIZAR

Según la definición, la primera zona de Brillouin en 1D es un conjunto de vectores de onda confinados a una región:

$$-\frac{\pi}{d} \le k_n < \frac{\pi}{d}$$ dónde $$k_n = \frac{\pi}{d}\left(\frac{2}{M}n - 1 \right)$$ con$n = 0,1,\ldots, M-1$. Con esta definición, la función Wannier para partículas libres se ve así $$W(x) = \frac{1}{\sqrt{M L}}\sum\limits_{n=0}^{M-1}e^{i k_n x} = \frac{1}{\sqrt{M L}}\left\{ \cot\left( \frac{\pi}{d M}x \right) \sin\left( \frac{\pi}{d}x \right) - i\sin\left( \frac{\pi}{d}x \right) \right\}$$ Para grande$M$la función anterior se comporta como:$W(x) \approx \sqrt{\frac{M}{L}}\left\{ \frac{\sin(\pi x/d)}{\pi x/d} - i\sin(\pi x/d)\right\}$que no es el resultado del libro de texto debido a la parte imaginaria no compensada. Sin embargo, en el artículo original de Kohn, reemplazó la suma discreta por la integral. En mi opinión, no está bien definido (falta un término adicional). Considere la fórmula de Euler-Maclaurin $$\sum\limits_{n=0}^{M-1}f(n) = \sum\limits_{n=0}^{M} f(n) - f(M) \approx \int\limits_{0}^{M}dn\ f(n) + \frac{1}{2}\left(f(0) - f(M) \right) = \frac{d M}{2 \pi}\int\limits_{-\pi/d}^{\pi/d}dk \tilde{f}(k) + \frac{1}{2}\left(f(0) - f(M) \right)$$ Kohn y otros autores se olvidaron del segundo término, que no es pequeño y en realidad no depende de$M$en el caso de partícula libre. Ahora, la fórmula discreta da la misma respuesta que la representación integral: la función de Wannier no es puramente real siempre que no incluyamos dos puntos extremos en la suma.