Conexión entre Hubbard-Stratonovich y estados coherentes (generalizados)

Una aproximación simple de campo medio para el modelo de Bose-Hubbard consiste en escribir operadores como a ^ i = α i + d α ^ i , α i ∈ C y sólo incluir términos hasta segundo orden en d α ^ . Usando estados coherentes/operadores de desplazamiento, esto puede escribirse como

H ( { a ^ i } ) = D ( { − α i } ) H ( ( { α i + d a ^ i } ) ) D ( { − α i } ) † = D ( { − α i } ) H ( 2 ) ( ( { α i + d a ^ i } ) ) D ( { − α i } ) †

dónde H ( 2 ) es cuadrático, D ( α ) = Exp ⁡ ( α a ^ − α ∗ a ^ † ) y D ( { − α i } ) = ⨂ i D ( α i ) . En esta aproximación, el estado fundamental de H ( 2 ) será "desplazado" al mínimo de campo medio y así podemos tener α i = ⟨ a ^ i ⟩ ≠ 0 . En un modelo de Bose-Hubbard, esto estaría en la fase superfluida.

Con una transformación de Hubbard-Stratonovich, que se usa por ejemplo en la teoría BCS, también se obtiene un hamiltoniano cuadrático y ⟨ C ^ k C ^ − k ⟩ ≠ 0 . ¿Hay un "desplazamiento" similar o un estado coherente generalizado similar en este caso, que desplaza los pares de fermiones entrelazados? He visto un par de estados coherentes (consulte la sección 2 de https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0607162.pdf ) como candidato. Tenga en cuenta que conozco la función de onda BCS: quiero comprender su relación (y otras soluciones desacopladas de HS) con los operadores de estado/desplazamiento coherentes, independientemente de las estadísticas fermiónicas/bosónicas/etc.

Ver también:

Transformación de Hubbard-Stratonovich y aproximación de campo medio

Transformación de Hubbard-Stratonovich en forma de operador

Hola, ¿ya tienes una mejor respuesta? Por accidente, estoy viendo los estados de Gauss en estos días y volví a su pregunta nuevamente. Parece que no entendí correctamente sus comentarios anteriores, lo siento. En comentarios anteriores dijiste: "el vacío de las cuasipartículas/pares - no fija el operador bosónico correspondiente". Pero dado que las cuasipartículas y las partículas originales están relacionadas por una transformación unitaria, ya sea en el caso de fermiones o bosones, ¿no debería el vacío ser único en alguna base?
¡Todavía estoy de acuerdo con esta afirmación! Lo que menciono con "no arreglar el operador bosónico correspondiente" se refiere a estados de par coherente (ver el artículo que enlazo arriba). Hay muchos operadores unitarios para un par de bosones que podrían interpretarse como un "par" de bosones coherentes. ¿Por qué exactamente este (que corresponde a un estado comprimido de dos modos y tiene propiedades de entrelazamiento especiales e interesantes)?
¡El argumento energético para la condensación de pares es probablemente la mejor explicación! Pero hay casos más complicados, como los líquidos de espín cuántico. ¿Por qué un estado comprimido de dos modos es una buena respuesta para la condensación de pares? Es quizás otra forma de reformular lo que todavía estoy pensando. ¡Intentaré responder esto cuando tenga tiempo!

Respuestas (1)

No estoy completamente seguro de si está buscando esto, pero déjeme escribir lo que sé.

A partir de una transformación de Bogliubov como se muestra a continuación, diagonalizamos el hamiltoniano:

H = ( C k , ↑ † C − k , ↓ ) METRO k ( C k , ↑ C − k , ↓ † ) = ( γ k , ↑ † γ − k , ↓ ) Ω k † METRO k Ω k ( γ k , ↑ γ − k , ↓ † ) = ( γ k , ↑ † γ − k , ↓ ) Λ k ( γ k , ↑ γ − k , ↓ † )
donde la transformación que mantiene la relación de conmutación del fermión es:
Ω k = ( tu k − v k v k ∗ tu k ∗ )
por conveniencia podríamos definir:
tu k = mi − i θ k 1 + | gramo k | 2 v k = gramo k mi i θ k 1 + | gramo k | 2

Entonces la función de onda del estado fundamental podría escribirse como:

| GRAMO S ⟩ ∝ mi ∑ k gramo k C k , ↑ † C − k , ↓ † | 0 ⟩
hasta una constante de normalización, donde | 0 ⟩ es el vacío del fermión original (electrones) C k , σ .

La razón por la que este es el estado fundamental (GS de campo medio, más precisamente), se puede ver en el cálculo de arbitraria γ k , σ eso:

γ k , σ | GRAMO S ⟩ = 0
lo que sugiere la | GRAMO S ⟩ es el vacío de cuasipartículas γ k , σ .

Esta es la forma de construir funciones de onda de condensación de pares de fermiones. Además, existe una forma similar para la condensación de pares de bosones, que se puede encontrar en la ecuación (3.8) de Phys. Rev. B 42, 4568. La diferencia de estructura, matemáticamente, solo proviene de las diferentes relaciones de conmutación que afectan el proceso de diagonalización.

El artículo de Read-Sachdev fue útil, ¡gracias! Aparentemente, el "operador de desplazamiento" para la condensación de pares de bosones es Exp ⁡ ( − ∑ k F k b k † b − k † ) pero la condición que establece para el estado fundamental fermiónico, que es el vacío de las cuasipartículas/pares, no fija el operador bosónico correspondiente, creo. Hay muchos operadores bosónicos diferentes. tu tal que [ tu , a k a − k ] = 0 , por ejemplo, un estado producto de dos estados coherentes que incluyen modos k , − k etc...
No estoy muy familiarizado con el operador de desplazamiento, supongo que más usado en óptica cuántica. La relación entre el bosón de Read-Sachdev | GRAMO S ⟩ y el fermión anterior | GRAMO S ⟩ Sin embargo, es simple: ambos son el vacío de un nuevo conjunto de cuasipartículas obtenidas de la transformación de Bogliubov, y pueden expresarse en partículas originales como un estado coherente que describe la condensación. En el caso de fermiones, si, de manera muy aproximada, define un operador de par C k = C k ↑ C − k ↓ , entonces mi gramo k C k simplemente representa un estado coherente.
@plan Umm... Simplemente ignóralo si eso no es lo que estás buscando....
Esto me aclara algunas cosas sobre la condensación de los bosones de Schwinger, pero debido a mi experiencia en óptica cuántica, todavía tengo curiosidad por saber por qué una simple exponenciación del operador par es la correcta. En óptica cuántica, hay muchas otras formas de definir pares de estados coherentes entrelazados.
@plan Tengo un fondo de materia condensada. Según tengo entendido, para los casos de campo medio del bosón de Schwinger y BCS, la apariencia del operador de par, físicamente, se debe a que el mecanismo de emparejamiento puede reducir la energía que se puede ver en el hamiltoniano, pero supongo que ya lo sabe. Por lo tanto, para mí, me gustaría explicarlo desde una perspectiva energética: el estado coherente escrito directamente en el operador de pares tiene la energía más baja, que no sea una perspectiva enredada.
@plan La razón en el operador de desplazamiento de bosón único del modelo de Bose-Hubbard le da directamente el estado fundamental, es en realidad un resultado de la aproximación de campo medio: toma la condensación de bosones libres como punto de partida de la perturbación, y luego en la aproximación de campo medio el estado fundamental sería simplemente un "estado desplazado". Por lo tanto, allí, ya asume una condensación en el bosón único original, luego simplemente modifica sus bosones a algunos cuasi-bosones considerando la interacción; mientras que en SB y BCS, no sabes qué son las partículas condensadas, y el análisis energético te dice que son partículas emparejadas.
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