¿Qué es diferente entre la función de resolución y verde?

Están estrechamente relacionados: el resolvente de la ecuación de valores propios de un operador autoadjunto$\hat{A}$es la función valorada por el operador definida como

$$G_\lambda=(\hat{A}-\lambda \hat{1})^{-1}$$

Llamamos a la función de Green el núcleo del resolvente [el núcleo de una transformada integral] que es la solución de la ecuación diferencial homogénea

$$(\hat{A} -\lambda)G_\lambda (\mathbf{x},\mathbf{y})=\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

para condiciones de contorno adecuadas. De este modo

$$(\hat{A}-\lambda)\int_{\mathbb{R}^3}d\mathbf{y} \,G_\lambda(\mathbf{x},\mathbf{y}) \psi(\mathbf{y})=\psi(\mathbf{x})$$

para cualquier continuo$\psi(\mathbf{x})$en$L_2(\mathbb{R}^3)$en el caso$\hat{A}$es un operador diferencial.