Relación entre sucesiones exactas largas y funtores derivados

Responderé a su pregunta a continuación, pero primero podría ser útil decir algo sobre qué son los funtores derivados y cuál es el punto.

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La idea de los funtores derivados es que si tiene un funtor que conserva (digamos) la exactitud izquierda cuando se aplica a una sucesión exacta corta, pero no la exactitud derecha (p. ej.$Hom(X, \text{--})$para un modulo$X$), entonces sus funtores derivados producen una secuencia exacta, pero ahora una secuencia exacta larga.

Como probablemente sepa, la sucesión exacta larga es

$$0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1(C) \to R^2(A) \to \cdots$$

Aquí estoy escribiendo$R^iF$para denotar el$i$funtor derivado (un funtor derivado derecho en este caso, ya que el funtor$F$se deja exacto; entonces la carta$R$es para "derecho").

Tenga en cuenta que los funtores derivados son los llamados$\delta$- funtor : no solo tenemos la secuencia de funtores$R^iF$, pero los es largos anteriores son en sí mismos funcionales en el ses$0 \to A \to B \to C \to 0.$(El "$\delta$" en$\delta$-funtor es una referencia a la colección de morfismos de conexión$R^iF(C) \to R^{i+1}F(A)$, que comúnmente se denotan$\delta$.)

Hay algunos comentarios que hacer:

• La existencia de estos archivos no caracteriza la$R^iF$como un$\delta$-funtor.

Por ejemplo, si tuvieras la colección.$R^iF,$Podría definir otro funtor$\widetilde{R}^iF$de la siguiente manera: en todos los grados$i$excepto$i = 1$, colocar$\widetilde{R}^iF =R^iF,$pero en grado$1$, definir$\widetilde{R}^iF(A) = R^iF(A) \oplus A$(para cualquier objeto$A$). Defina los morfismos de conexión en el sumando adicional que pusimos para que sean solo$0$. Entonces, el nuevo archivo es el mismo que el anterior, excepto que acabamos de sumar directamente en una copia del original ses en el grado$1$parte de los archivos de$R^iF$'s.

Esto se trata en el siguiente punto.

• El$R^iF$se toman como mínimos, en algún sentido apropiado. Precisamente, son un universal $\delta$-funtor para$F$, es decir, se asignan canónicamente a cualquier otro$\delta$-funtor. (Esto se discute en el libro de geometría algebraica de Hartshorne al comienzo del Capítulo III, pero supongo que también en muchos otros lugares).

Entonces, intuitivamente, no contienen basura adicional que podríamos haber agregado gratuitamente en algún grado.

• Aunque no es obvio si estás aprendiendo esto por primera vez, para construir el universal$\delta$-funtor, puede usar resoluciones inyectivas de objetos y aplicar$F$(el funtor original, derivado) de estas resoluciones. (Esto da un complejo cocadena, cuya cohomología produce el$R^iF$'s.) Para obtener los menos: primero demuestre que un conjunto de objetos da un conjunto de resoluciones. Entonces, dado que los ses de los objetos inyectivos se dividen, y dado que$F$llevará un ses dividido a un ses (dividido), aplicando$F$da un ses de complejos. Pasando a la cohomología, y usando el hecho recordado en su pregunta, da los funtores derivados.

Entonces, la conexión entre el hecho que recordó en su pregunta y los funtores derivados, en realidad no surge hasta una parte bastante técnica de la historia, es decir, en la construcción real de los funtores derivados a través de resoluciones inyectivas.

Tenga en cuenta que aunque a veces usa resoluciones para calcular los funtores derivados, a menudo usa medios más indirectos, por lo que la construcción a través de resoluciones inyectivas a menudo no es un punto clave para enfocarse en las aplicaciones (aunque subyace en la teoría).

• ¿Cuál es el punto de toda la historia? ¿Por qué nos tomamos la molestia de construir estos funtores derivados, observando los menos, y así sucesivamente?

Por ejemplo, ¿por qué la gente no hace lo ingenuo de mirar la secuencia exacta de cuatro términos?

$$0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to \text{ cokernel } \to 0.$$ El punto es que este cokernel no depende solo de $A$, $B$, o $C$, pero en los tres de ellos, y de hecho en la totalidad de los datos de los ses $0 \to A \to B \to C \to 0.$

Básicamente, no es un objeto muy flexible, y no hay mucha teoría que puedas desarrollar directamente sobre él.

Lo que ocurre en la teoría de los funtores derivados es que la información de este conúcleo se difunde en la teoría de una forma mucho más sutil, flexible y útil.

Por ejemplo, en los archivos de funtores derivados, los términos solo dependen de uno de los objetos$A$,$B$,o$C$. Son solo los morfismos (especialmente los morfismos de conexión) los que dependen de los datos completos del ses.

En particular, supongamos que en algún caso particular queremos mostrar que$0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$es exacto
La teoría general muestra que lo que tenemos que hacer es probar que el morfismo de conexión$F(C) \to R^1F(A)$es igual a cero

Una forma en que podemos hacer esto es simplemente mostrar que$R^1F(A) = 0$sí mismo. Esto depende solo de$A$, por lo que no depende en absoluto del ses original. En particular, es algo que podríamos intentar verificar haciendo un cálculo relacionado con$A$, sin tener que pensar en absoluto en$B$o$C$o el ses original Posiblemente podríamos calcular directamente con resoluciones inyectivas, o tal vez podríamos intentar usar algún otro método más indirecto: por ejemplo, podríamos intentar poner$A$en algunos otros ses sobre los que sabemos más, y usamos el funtor derivado les para ese ses para obtener información sobre los valores de los$R^iF(A)$.

Incluso si no podemos probar eso$R^1F(A)$desaparece, todavía podemos esperar obtener información (por ejemplo, si podemos limitar su tamaño, entonces podemos limitar el tamaño del cokernel de$F(B) \to F(C)$). Al difundir la información a través de los diversos valores de los funtores derivados y los morfismos de conexión, la teoría de los funtores derivados proporciona una herramienta mucho más útil que la que obtiene de un enfoque más ingenuo de estas preguntas.

No estoy seguro de lo que está pidiendo exactamente, pero aquí hay una reseña sobre los funtores derivados que espero que le sea útil. Supongamos que tenemos un funtor exacto por la izquierda$F$en la categoría$\cal{C}$de módulos sobre un anillo conmutativo dado. (La configuración habitual son las categorías abelianas, pero no hay nada de malo en trabajar con algo concreto para una descripción breve. Además, estoy usando funtores exactos a la izquierda y, por lo tanto, funtores derivados a la derecha, pero el mismo enfoque funciona exactamente igual con funtores a la derecha. funtores exactos.) Por definición, una secuencia exacta corta de módulos

$$0 \to A \to B \to C \to 0$$ en $\cal{C}$induce por $F$una sucesión exacta corta $$0 \to F(A) \to F(B) \to F(C).$$ Si $F$no es exacta, entonces no podemos extender la secuencia de arriba con el mapa $F(C) \to 0$en general y preservar la exactitud. Sin embargo, podemos seguir extendiendo la secuencia a expensas de agregar más términos a la derecha para acabar con los mapas anteriores en el complejo. Lo que finalmente queremos es una serie de objetos $R^* F$dándonos una secuencia exacta $$\cdots \to R^{p-1} F(C)\to R^p F(A) \to R^p F(B) \to R^p F(C) \to R^{p+1} F(A) \to \cdots$$ con $F^0(M) = M$y $F^p(M) = 0$para $p < 0$.

Entonces, ¿por qué molestarse con esta construcción? En primer lugar, las teorías de cohomología "común" son de la forma$R^* F$para algún funtor exacto a la izquierda$F$. La homología y la cohomología del complejo CW ordinario se pueden construir a través de esta operación. El ejemplo más común es la cohomología de la gavilla, donde$H^*(X, \scr{F})$se construye como$R^*F$para$F = \Gamma(X, \scr{F})$, el módulo de secciones globales de$\scr{F}$. Este podría ser un caso más elegante de lo que le interesa, pero eso es parte del punto; Obtenemos una cosa complicada gratis con esta maquinaria. Más concretamente, podemos ver el funtor

$$F(M) = M^G = \{x\in M:\, gx = x\text{ for all $g\in G$}\}$$ para un grupo $G$y un $\mathbb{Z}G$módulo $M$. Este funtor es exacto a la izquierda, por lo que obtenemos una teoría de cohomología gratis, sin tener que calcular ningún mapa de cadena ni verificar ningún axioma. No voy a entrar en detalles aquí, pero la misma construcción te da la mayor $\text{Ext}^*$y $\text{Tor}^*$funtores (importantes en álgebra homológica y otros lugares), algunas de las teorías de cohomología más complicadas en geometría algebraica, etc.

La otra ventaja es el poder de las tonterías abstractas. Debido a algunas propiedades de naturalidad, los funtores derivados$R^*F$están bien definidas y son únicas. Como resultado, podemos demostrar instantáneamente (bueno, al menos brevemente) que, por ejemplo, la cohomología de$K(\pi, 1)$es lo mismo que la cohomología del grupo$\pi$. Estas son cosas aparentemente diferentes; el primero es la cohomología de un complejo CW (probablemente infinito), y el último es la cohomología de un grupo y se define en términos puramente algebraicos. Sin embargo, el punto es que toda la maquinaria de los funtores derivados muestra fácilmente que ambos están calculando el mismo tipo de resolución inyectiva y, por lo tanto, equivalente. Es posible adentrarse en tonterías aún más abstractas y hablar de categorías derivadas, pero espero que esto le dé una idea de las cosas involucradas.