La secuencia exacta corta de complejos induce la secuencia exacta larga de grupos de homología

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La secuencia exacta corta de complejos induce la secuencia exacta larga de grupos de homología

Matemáticas
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álgebra homológica
homología-cohomología

ryan shesler

Estoy siguiendo el álgebra de Lang sobre la teoría de la homología general y quería probar la secuencia exacta corta de complejos

\begin{matrix} 0 & \overset{}{\to} & A & \overset{F}{\to} & B & \overset{gramo}{\to} & C & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>{}>> A @>{f}>> B @>{g}>> C @>{}>> 0 \end{CD}$ induce una secuencia exacta larga en los grupos de homología

\begin{matrix} \overset{}{\to} & H^{i} (A) & \overset{}{\to} & H^{i} (B) & \overset{}{\to} & H^{i} (C) & \overset{d}{\to} & H^{i + 1} (A) & \overset{}{\to} & H^{i + 1} (B) & \overset{}{\to} & H^{i + 1} (C) & \overset{}{\to} \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} @>{}>> H^{i}(A) @>{}>> H^i(B) @>{}>> H^i(C) @>{\delta}>> H^{i+1}(A) @>{}>> H^{i+1}(B) @>{}>> H^{i+1}(C) @>{}>> \end{CD}$ por el lema de la serpiente. Vi esta pregunta con respecto al mismo tema, y estoy tratando de desarrollar la prueba siguiendo el comentario que señala que el siguiente diagrama conmuta y es exacto en las filas.

\begin{matrix} A_{norte} / B (A_{norte}) & \overset{F_{*}}{\to} & B_{norte} / B (B_{norte}) & \overset{{gramo}_{*}}{\to} & C_{norte} / B (C_{norte}) & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & \overset{}{\to} & Z (A_{norte + 1}) & \overset{α}{\to} & Z (B_{norte + 1}) & \overset{β}{\to} & Z (C_{norte + 1}) \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} &&A_n/B(A_n) @>{f_{*}}>> B_n/B(B_n) @>{g_{*}}>> C_n/B(C_n) @>{}>> 0 \\ &@VVV @VVV @VVV \\ 0 @>{}>> Z(A_{n+1}) @>{\alpha}>> Z(B_{n+1}) @>{\beta}>> Z(C_{n+1}) \end{CD}$ veo como

f

$f$ y

g

$g$ inducir homomorfismos

f_{*}, g_{*}

$f_*, g_*$ enviando

f_{*} (a + B (A_{n})) = f (a) + B (B_{n})

$f_*(a+B(A_n)) = f(a) + B(B_n)$ y de manera similar para

g

$g$ (al menos eso creo), pero no puedo ver cómo la fila superior es exacta. me doy cuenta bajo el homomorfismo inducido

f_{*}

$f_*$ tenemos

Im (f_{*}) = Im (f) / B (B_{n})

$\text{Im}(f_*) = \text{Im}(f)/B(B_n)$ pero no estoy seguro de cómo probar que esto es

\ker (g_{*}) = g^{- 1} (B (C_{n}))

$\ker(g_*) = g^{-1}(B(C_n))$ .

Respuestas (2)

La secuencia exacta corta de complejos induce la secuencia exacta larga de grupos de homología

Qi Zhu · Answer 1

Probablemente haya una prueba rápida por tonterías abstractas, pero no puedo ver ese argumento en este momento. Sin embargo, en caso de duda, una búsqueda de diagramas siempre funciona en álgebra homológica básica.

La dirección más difícil es $\ker{g_*} \subseteq \operatorname{im}{f_*}$ . Dejar $[b] \in \ker{g_*}$ con $b \in B_n$ , entonces $g(b) \in B(C_n)$ , es decir, existe $c \in C_{n+1}$ tal que $g(b) = d(c)$ . por exactitud de $0 \to A \to B \to C \to 0$ existe $b' \in B_{n+1}$ tal que $g(b') = c$ . Porque $g$ es un mapa de cadena, tenemos

gramo (b) = d (gramo (b^{'})) = gramo (d (b^{'})) ⟹ gramo (b - d (b^{'})) = 0.

$g(b) = d(g(b')) = g(d(b')) \implies g(b-d(b')) = 0.$ De este modo,

b - d (b^{'}) \in \ker g

$b-d(b') \in \ker{g}$ , por lo que por exactitud existe alguna

a \in A_{n}

$a \in A_n$ con

f (a) = b - d (b^{'})

$f(a) = b-d(b')$ . Pero entonces

f ([a]) = [b]

$f([a]) = [b]$ el cual muestra

[b] \in im f_{*}

$[b] \in \operatorname{im}{f_*}$ como se desee.

¿Cómo encontré esta prueba? Realmente solo seguí mi olfato: comencé a tomar la definición y a escribir lo único sensato que uno podía hacer en cada paso. ¡Y justo después de unas pocas líneas llegamos a la conclusión deseada!

De hecho, probablemente sea más fácil hacerlo usted mismo que leer la prueba de otra persona.

Con respecto al primer párrafo: uno puede reemplazar la persecución del diagrama de teoría de conjuntos por una persecución del diagrama de teoría de flechas, pero eso es todo. Una versión de Snake Lemma todavía tiene que probarse independientemente y no creo que haya una forma puramente abstracta de hacerlo.
@mrtaurho Dependiendo de lo que quiera decir con "forma puramente abstracta", hay pruebas puramente categóricas del Lema de la serpiente. Pero de todos modos, esta pregunta no se trataba de probar el Lema de la Serpiente.
Creo que "puramente abstracto" no es la mejor elección de palabras. ¿Qué tipo de prueba categórica tienes en mente?
@mrtaurho Honestamente, solo recuerdo a un tutor presentando una buena prueba del Lema de la Serpiente pero no el contenido jaja. Probablemente algo en math.stackexchange.com/questions/74871 o math.stackexchange.com/questions/314693 .
Sí, esa es la persecución del diagrama teórico de flechas a la que me refería (también se puede encontrar una gran explicación de esto en los últimos capítulos de Álgebra de Aluffi: Capítulo 0). Para ser justos, es bastante abstracto todo listo. Siguen las persecuciones de diagramas "elementales", aunque esta podría ser la naturaleza del Lema de la Serpiente: D

Qi Zhu · Answer 2

Aquí está la prueba abstracta que prometí, que supongo que es la prueba estándar que se enseña en álgebra homológica.

Considere el siguiente diagrama conmutativo que copié de Weibel (p. 13) porque reconozco que soy demasiado perezoso para dibujar un diagrama conmutativo en MSE.

Las dos filas del medio (que involucran solo $A,B,C$ ) son exactas y, por lo tanto, el Lema de la Serpiente muestra que la fila superior e inferior (sin los ceros) son exactas.

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