Homología con coeficientes locales como funtor de espacios puntiagudos conectados por caminos y módulos π1π1\pi_1.

Question

Homología con coeficientes locales como funtor de espacios puntiagudos conectados por caminos y módulos π1π1\pi_1.

Matemáticas
teoría de la homotopía
Topología algebraica
álgebra homológica
homología-cohomología

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Un sistema local de coeficientes en un espacio $X$ es un funtor $F\colon \Pi(X)\rightarrow Ab$ del grupoide fundamental a la categoría de grupos abelianos. A partir de esto, se pueden definir los grupos de homología de $X$ con coeficientes locales $H_*(X,F)$ como se hace, por ejemplo, en el capítulo VI del libro de Whitehead "Elementos de la teoría de la homotopía". Allí, también se muestra que esta construcción produce funtores $H_i$ de la categoría de espacios con coeficientes locales (un morfismo entre (X,F) y (Y,G) es un mapa continuo $f\colon X\rightarrow Y$ con una transformación natural $\eta\colon F\rightarrow f^*G$ ) a la categoría de grupos abelianos.

Supongamos ahora que $X$ es conexo por caminos y tiene un punto base $x\in X$ . Entonces la inclusión $\pi_1(X,x)\rightarrow \Pi(X)$ es una equivalencia de categorías, por lo que podemos elegir un funtor inverso $i\colon \Pi(X)\rightarrow \pi_1(X,x)$ . Si tenemos un módulo $F$ encima $\pi_1(X,x)$ (que es lo mismo que un funtor $\pi_1(X,x)\rightarrow Ab$ ), obtenemos un funtor $\Pi(X)\rightarrow Ab$ por $F\circ i$ .

Por lo tanto, podemos definir los grupos de homología de $X$ con coeficientes locales en el $\pi_1(X,x)$ -módulo $F$ como $H_*(X,F):=H_*(X,F\circ i)$ .

Primera pregunta: ¿ Por qué esta definición es independiente de la inversa elegida? $i$ ?

Parece ser común identificar sistemas de coeficientes locales sobre un espacio conectado por caminos con módulos sobre el grupo fundamental en un punto elegido, así que esto tiene que ser cierto.

Segunda pregunta: ¿Esta definición se extiende a un funtor $H_i$ de la categoría de espacios puntiagudos conectados por caminos $(X,x)$ con módulos encima $\pi_1(X,x)$ , donde los morfismos entre $(X,x,F)$ y $(Y,y,G)$ son mapas continuos $f\colon X\rightarrow Y$ junto con un $\pi_1(f)$ -mapa equivalente $F\rightarrow G$ .

Como la identificación mencionada anteriormente abunda en libros y artículos dentro de la topología algebraica, esto también debería ser cierto, pero encuentro dificultades para probarlo. El principal problema parece ser que podría no ser posible elegir las inversas $i\colon\Pi(X)\rightarrow \pi_1(X,x)$ , tal que forman una transformación natural.

Respuestas (1)

Homología con coeficientes locales como funtor de espacios puntiagudos conectados por caminos y módulos π1π1\pi_1.

Yuan Qiaochu · Answer 1

Yuan Qiaochu

Los inversos son únicos hasta el isomorfismo único: es decir, si $F : C \to D$ es un funtor y $G_1, G_2 : D \to C$ son dos inversas, hay un isomorfismo natural único $G_1 \cong G_2$ compatible con los datos de ser una inversa. (Esto podría requerir algunas modificaciones sutiles a la noción ingenua de "los datos de ser un inverso": una definición que debería estar bien es un adjunto izquierdo donde la unidad y el país son isomorfismos).
Si todo esta bien. Tal vez entendí mal tu pregunta, pero ni siquiera veo por qué necesitas elegir inversas para esta declaración: hay mapas naturales $\pi_1(X, x) \to \Pi_1(X)$ de groupoides y solo necesita retroceder los sistemas locales a lo largo de estos mapas.

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por un inverso

Π (X) \to π_{1} (X, x)

$\Pi(X)\rightarrow \pi_1(X,x)$ Quise decir un funtor, tal que la composición con el funtor natural

π_{1} (X, x) \to Π (X)

$\pi_1(X,x)\rightarrow \Pi(X)$ son equivalentes (¡no iguales!) a la identidad. La construcción habitual elige un camino desde cada punto hasta

x

$x$ y se conjuga con el valor de este camino, que implica muchas elecciones.

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math.stackexchange.com/questions/1613519/… parece describir exactamente esta situación de manera más abstracta.

Yuan Qiaochu

@Bill: sí, por supuesto. Pero por singularidad deberías decir más. En la definición correcta, las equivalencias son parte de los datos. (De lo contrario, lo mejor que puede pedir es unicidad hasta el isomorfismo, y algo más fuerte es verdadero). Pero en la definición aún más correcta, debe pedir algo ligeramente diferente. Puede solicitar una inversa izquierda y derecha (hasta la equivalencia), que no están identificadas, o puede solicitar una equivalencia adjunta (que es lo que dije anteriormente).

Yuan Qiaochu

Para decirlo de otra manera: si

f : X \to Y

$f : X \to Y$ es cualquier mapa de groupoides, induce un funtor pullback

f^{*} : Loc (Y) \to Loc (X)

$f^{\ast} : \text{Loc}(Y) \to \text{Loc}(X)$ con un adjunto izquierdo y derecho (extensión Kan izquierda y derecha respectivamente). Hasta ahora no he elegido nada: todo esto es enteramente canónico. Ahora si

f

$f$ es una equivalencia, entonces también lo es

f^{*}

$f^{\ast}$ , y una forma de describir lo que esto significa es que los isomorfismos de unidad y counidad para su adjunto izquierdo o derecho son isomorfismos. Esta es una propiedad y no una estructura, y en particular, nuevamente, no necesito tomar ninguna decisión.

Yuan Qiaochu

Entonces, si desea traducir canónicamente entre

π_{1} (X, x)

$\pi_1(X, x)$ -conjuntos y sistemas locales, en lugar de elegir inversos, puede tomar extensiones Kan izquierda o derecha (aunque debe elegir una y ser coherente al respecto), y esto será natural en todos los sentidos que pueda desear.

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Permítanme ser muy concreto: dejen

f : X \to Y

$f\colon X\rightarrow Y$ ser un mapa puntiagudo entre espacios conectados por caminos,

F

$F$ a

π_{1} (X, x)

$\pi_1(X,x)$ -módulo,

G

$G$ a

π_{1} (Y, y)

$\pi_1(Y,y)$ -módulo y

ϕ : F \to G

$\phi\colon F\rightarrow G$ a

π_{1} (f)

$\pi_1(f)$ -mapa equivalente. Elige inversas

i_{X} : Π (X) \to π_{1} (X, x)

$i_X\colon \Pi(X)\rightarrow \pi_1(X,x)$ y

i_{Y} : Π (Y) \to π_{1} (Y, y)

$i_Y\colon \Pi(Y)\rightarrow \pi_1(Y,y)$ . Para construir un mapa

H_{i} (X, F) = H_{i} (X, F \circ i_{X}) \to H_{i} (Y, G \circ i_{Y}) = H_{i} (Y, G)

$H_i(X,F)=H_i(X,F\circ i_X)\rightarrow H_i(Y,G\circ i_Y)=H_i(Y,G)$ , necesitamos una transformación natural de

F \circ i_{X}

$F\circ i_X$ a

G \circ i_{Y} \circ Π (f)

$G \circ i_Y\circ\Pi(f)$ .

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Si

i_{∙}

$i_\bullet$ sería una transformación natural, se mantendría

i_{Y} \circ Π (f) = π_{1} (f) \circ i_{X}

$i_Y\circ\Pi(f)=\pi_1(f)\circ i_X$ y estaríamos hechos precomponiendo la transformación natural

ϕ : F ⟹ G \circ π_{1} (f)

$\phi\colon F\implies G\circ \pi_1(f)$ con

i_{X}

$i_X$ .

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Si

i_{∙}

$i_\bullet$ no es natural, no veo cómo se obtiene el mapa inducido. Aprecio tu ayuda. Gracias, incluso por sus comentarios hasta ahora.

Yuan Qiaochu

Te estoy diciendo que no necesitas elegir inversas. en vez de hablar de

F \circ i_{X}

$F \circ i_X$ y

G \circ i_{Y}

$G \circ i_Y$ se puede hablar de, digamos, las extensiones Kan izquierda de

F

$F$ y

G

$G$ de

π_{1}

$\pi_1$ a

Π_{1}

$\Pi_1$ respectivamente.

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Desafortunadamente, no conozco el concepto de extensiones Kan. Realmente agradecería que ampliara su respuesta al segundo punto mediante una definición explícita de ese funtor en términos de la definición de homología con coeficientes locales que mencioné al comienzo de mi respuesta.

Homología con coeficientes locales como funtor de espacios puntiagudos conectados por caminos y módulos π1π1\pi_1.

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