Una duda sobre los subgrupos de Lie de los grupos de Lie

El siguiente teorema se puede encontrar en la "Introducción a la variedad suave" de Lee.

Suponer GRAMO es un grupo de Lie con álgebra de Lie gramo . Si h es una subálgebra de Lie de gramo entonces hay un único subgrupo de Lie conectado H de GRAMO con álgebra de mentira h .

¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones? Dada la hipótesis del teorema anterior, existe un subgrupo H de GRAMO tal que H se le puede dar una topología y una estructura suave tal que el mapa de inclusión natural i : H → GRAMO es un homomorfismo de grupo de Lie y D i ( mi ) T mi H = h .

Mi pregunta es en qué topología H ¿está conectado? ¿La unicidad significa que si hay otro subgrupo H ′ con una topología y estructura suave, conectada en su propia topología y D i ( mi ) T mi H = h entonces H = H ′ y el mapa de identidad de H a H ′ Qué es un isomorfismo de grupo de Lie?

¿Puede haber algunos contraejemplos naturales que violen los supuestos?

Definición: Dejar METRO ser una variedad suave. Entonces S ⊆ METRO se dice que es una subvariedad si S tiene su propia topología y estructura suave con respecto al mapa de inclusión es una inmersión suave. Definición: Dejar GRAMO ser un grupo de mentiras. un subgrupo H ⊆ GRAMO se llama subgrupo de Lie si H es una subvariedad y un grupo de Lie con respecto a la estructura suave de ser una subvariedad.

Seguramente significa en la topología del subespacio, considerando que H ⊆ GRAMO activos. Esto es equivalente a la inclusión i : H → GRAMO usted considere, siempre y cuando usted requiera que i es suave.
@Joppy, vea el ejemplo "topológico" en mi respuesta.

Respuestas (1)

No tengo una copia del libro accesible para mí en este momento. Creo que es una buena pregunta. Permítanme explicar primero un ejemplo "patológico" estándar.

Dejar V = R 2 y Z 2 ⊂ R 2 Sea el enrejado entero dentro V . Entonces T 2 := V / Z 2 ≃ tu ( 1 ) × tu ( 1 ) es un grupo de Lie bidimensional (abeliano), donde el "producto" del grupo de Lie es inducido por la adición de vectores en V .

En 0 ∈ V , considere una recta tangente yo ⊂ T 0 ( R 2 ) = R 2 . Si la pendiente de yo es racional, entonces yo modificación Z 2 define un subgrupo de Lie de T 2 con la topología del subespacio (es una subvariedad cerrada de T 2 ). Pero si la pendiente de yo es irracional entonces yo modificación Z 2 define un subgrupo de Lie de T 2 que no es una subvariedad cerrada.

Es debido a ejemplos patológicos como este que muchos autores definen la noción de subgrupo de Lie sin exigir que un subgrupo de Lie tenga la topología inducida.

No conozco las definiciones precisas que usa Lee en su libro, por lo que no puedo discutir más antes de conocer las definiciones precisas que usa para un "subgrupo de mentiras" y para una "subvariedad".

Si el OP desea discutir más, agregue estas definiciones a su publicación, y luego podré discutir con más detalle.

> Definiciones añadidas. Estoy particularmente interesado en saber sobre la parte conectada. Cuando dicen que subgrupo conectado... ¿se refiere a la topología inducida oa la otra?
No está en la topología inducida. Está en la otra topología. La topología inducida es mala para usar en líneas con pendientes irracionales en el ejemplo que proporcioné, por ejemplo. Por ejemplo, una línea con pendiente irracional es densa en el 2 -toro.
Quiero decir, puede suceder que también esté conectado en la topología inducida, pero la topología a la que se refieren cuando hablan de subgrupos de Lie en general no es la topología inducida. Sin embargo, coincide con la topología inducida para subgrupos de Lie cerrados.
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