Invariancia de homotopía de la cohomología de de Rham

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Invariancia de homotopía de la cohomología de de Rham

Matemáticas
teoría de la homotopía
colectores suaves
derham-cohomología
geometría diferencial

Anónimo

Dejar $M,N$ Ser variedades suaves que son homotópicas equivalentes, es decir, existen aplicaciones suaves. $F:M\rightarrow N$ y $G:N\rightarrow M$ tal que $F\circ G$ es homotópico al mapa de identidad en $N$ y $G\circ F$ es homotópico al mapa de identidad en $M$ .

Entonces, la invariancia de homotopía de la cohomología de deRham dice que los grupos de cohomología de de Rham de $M$ y $N$ son isomorfos.

No puedo entender la construcción dada en la Introducción a las variedades suaves de Lee.

¿Cuál es la idea aproximada detrás de esta prueba (o cualquier otra prueba) de la invariancia homotópica de la cohomología de De Rham?

EDITAR: Dado que $M,N$ son homotópicos equivalentes a los anteriores, necesitamos demostrar que $H^p_{dR}(M)$ y $H^p_{dR}(N)$ son isomorfos. esperamos que esto venga de $F^*:H^p_{dR}(N)\rightarrow H^p_{dR}(M)$ y $G^*:H^p_{dR}(M)\rightarrow H^p_{dR}(N)$ .

No entiendo la idea detrás de la prueba de que dos mapas homotópicos han inducido los mismos mapas de cohomología de DeRham .

Una vez que demostremos esto, entonces $F\circ G$ y $1_N$ inducir los mismos mapas de cohomología de DeRham, es decir, la composición $H^p_{dR}(N)\xrightarrow{F^*} H^p_{dR}(M)\xrightarrow{G^*} H^p_{dR}(N)$ es igual que el mapa de identidad en $H^p_{dR}(N)$ y del mismo modo la composición $H^p_{dR}(M)\xrightarrow{G^*} H^p_{dR}(N)\xrightarrow{F^*} H^p_{dR}(M)$ es igual que el mapa de identidad en $H^p_{dR}(M)$ . esto dice que $F^*\circ G^*=1$ y $G^*\circ F^*=1$ . De este modo, $F^*,G^*$ son isomorfismos, inversos entre sí, concluyendo que los grupos de cohomología de DeRham $H^p_{dR}(M)$ y $H^p_{dR}(N)$ son isomorfos.

¿Cómo probamos que dos mapas de homotopía inducen los mismos mapas de cohomología de DeRham? Dejar $f:M\rightarrow N$ y $g:M\rightarrow N$ Sean dos aplicaciones de homotopía, queremos probar que $f^*=g^*:H^p_{dR}(N)\rightarrow H^p_{dR}(M)$ es decir, $f^*(\omega)=g^*(\omega)+\text{closed p-form on }M$ cuando se ven como mapas $\Omega^p(N)\rightarrow \Omega^p(M)$ . Esto significa que se espera que tengamos

F^{*} (ω) = {gramo}^{*} (ω) + d η

$f^*(\omega)=g^*(\omega)+d\eta$ dónde

η

$\eta$ es un suave

p - 1

$p-1$ forma.

Esto da la cuestión de definir un mapa. $h:\{\text{closed p-forms on }N\}\subseteq \Omega^p(N)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)$ asignando a cada cerrado $p$ forma $\omega$ en $N$ a $p-1$ forma $\eta$ en $M$ tal que $f^*(\omega)=g^*(\omega)+d\eta$ .

Entonces el autor dice que resulta ser mucho más simple de definir $h:\Omega^p(N)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)$ no con la condición $f^*(\omega)=g^*(\omega)+d(h\omega)$ para cada forma cerrada $\omega$ pero con una condición más general que

F^{*} (ω) - {gramo}^{*} (ω) = d (h ω) + h (d ω)

$f^*(\omega)-g^*(\omega)=d(h\omega)+h(d\omega)$ por cada suave

p

$p$ forma. Suponer

ω

$\omega$ esta cerrado entonces

d ω = 0

$d\omega=0$ y obtenemos la condición requerida de que

f^{*} (ω) - g^{*} (ω) = d (h ω)

$f^*(\omega)-g^*(\omega)=d(h\omega)$ .

Entonces, ahora la cuestión es definir un mapa $h:\Omega^p(N)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)$ satisfaciendo la condición anterior. ¿Cómo podemos pensar en construir tal mapa? Si estamos pensando en pasar de un $p$ forma a un $p-1$ formar una cosa obvia es de alguna manera integrar este $p$ forma. Qué $p$ forma podemos integrar aquí? Es natural de alguna manera integrar el $p$ forma $f^*(\omega)-g^*(\omega)$ conseguir un $p-1$ forma $h\omega$ . Entonces, cuando invierte el proceso, es decir, cuando diferencia obtiene $f^*(\omega)-g^*(\omega)=d(h\omega)$ . Esta idea es vaga y no puedo hacerla mejor.

Este $h$ se llama operador de homotopía en este libro.

Cualquier sugerencia sobre cómo pensaría en producir este operador es bienvenida.

Respuestas (1)

Invariancia de homotopía de la cohomología de de Rham

usuario99914 · Answer 1

Ahora leo el libro y me doy cuenta de que la derivada de Lie se introduce después del capítulo sobre cohomología, si se invierte el orden, hay una interpretación muy directa.

Quiere probar:

Si $f_0,f_1 : M\to N$ son mapeos suaves que son homotópicos, entonces
$F_{0}^{*} = F_{1}^{*} : H_{d R}^{k} (norte) \to H_{d R}^{k} (METRO)$ $f_0^* = f_1^* : H^k_{dR}(N)\to H^k_{dR}(M)$ para todos $k$ .

Recuerde que el mapeo de pullback inducido en $H^k$ es solo $f_0^* [\alpha] = [f_0^*\alpha]$ y similares para $f_1$ . Por lo tanto, debe mostrar: para cualquier $k$ -forma $\alpha$ en $N$ , $[f_0^*\alpha] =[ f_1^*\alpha]$ , o $[f_1^*\alpha - f_0^*\alpha] = 0$ .

Es decir, quieres escribir. $f_1^*\alpha - f_0^*\alpha$ como $d$ de algo. Nótese que por el teorema fundamental del cálculo,

F_{1}^{*} α - F_{0}^{*} α = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} (F_{t}^{*} α) d t .

$f_1^*\alpha - f_0^*\alpha = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt.$

Aquí $f_t$ es la homotopía entre $f_0$ y $f_1$ . Por supuesto, no está claro cuál es el lado derecho. Queremos darle una interpretación más intrínseca, para que podamos verificar si el lado derecho es realmente $d$ de algo.

Dejamos $F : M \times [0,1] \to N$ Sea la homotopía y $\iota_t : M\to M\times [0,1]$ , $\iota_t (x) = (x, t)$ sea la inclusión. Entonces $f_t = F\circ \iota_t$ , de este modo $f_t^* = \iota_t^* \circ F^*$ y

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} (F_{t}^{*} α) (X) & = \frac{\partial}{\partial t} ({yo}_{t}^{*} (F^{*} α) (X)) \\ = \frac{\partial}{\partial t} (F^{*} α) (X, t) \\ = L_{T} (F^{*} α), \end{aligned}

$\begin{split} \frac{\partial}{\partial t} (f_t^* \alpha) (x)&= \frac{\partial }{\partial t} (\iota_t^* (F^*\alpha) (x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial t} (F^*\alpha)(x, t)\\ &= \mathscr{L}_T (F^*\alpha), \end{split}$

L_{T}

$\mathscr L_T$ es la derivada de Lie a lo largo del vector

T := \frac{\partial}{\partial t}

$T:=\frac{\partial}{\partial t}$ (como un campo vectorial en

M \times [0, 1]

$M\times [0,1]$ ). Ahora la fórmula mágica de Cartan da (para cualquier forma diferencial

ω

$\omega$ , campos vectoriales

X

$X$ )

L_{X} ω = {yo}_{X} d ω + d {yo}_{X} ω .

$\mathscr L_X \omega = \iota_X d\omega + d \iota_X \omega.$

Entonces tenemos

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} (F_{t}^{*} α) d t & = \int_{0}^{1} L_{T} (F^{*} α) d t \\ = \int_{0}^{1} ({yo}_{T} d (F^{*} α) + d {yo}_{T} (F^{*} α)) d t \\ = \int_{0}^{1} {yo}_{T} F^{*} (d α) d t + d (\int_{0}^{1} {yo}_{T} (F^{*} α) d t) \end{aligned}

$\begin{split} \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt &= \int_0^1 \mathscr L_T (F^*\alpha) dt \\ &= \int_0^1 \big( \iota_T d(F^*\alpha) + d\iota_T (F^*\alpha)\big) dt \\ &= \int_0^1 \iota_T F^* (d\alpha) dt+ d \left( \int_0^1 \iota_T (F^*\alpha) dt\right) \end{split}$

Tenga en cuenta que la integración es exactamente el operador de homotopía $h$ construido: entonces

\int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} (F_{t}^{*} α) d t = h (d α) + d (h (α)) .

$\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt = h(d\alpha) + d(h(\alpha)).$

Entonces tenemos la siguiente mejor cosa: el lado derecho en general no es $d$ de algo, pero es cuando $\alpha$ está cerrado. Esto prueba el teorema.

Por supuesto, solo estoy escondiendo todo en la fórmula mágica de Cartan. La fórmula se prueba comúnmente por cálculo directo . Aquí se sugiere un argumento más elegante/geométrico en la mecánica clásica de Arnold . Tenga en cuenta que el último también usa un operador de homotopía.

¿Por qué la teoría de la homotopía de etiquetas no es relevante para esta pregunta?
Bueno, tienes razón. Pensé que la etiqueta era sobre el estudio de grupos de homotopía , pero la información de la etiqueta dice lo contrario. @violonchelo
¿ De verdad te refieres al teorema fundamental del cálculo ? También siento algo como $F_{1}^{*} α - F_{0}^{*} α = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} (F_{t}^{*} α) d t$ $f_1^*\alpha - f_0^*\alpha = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} (f_t^*\alpha) dt$ tiene que ser cierto pero dudo que esto sea obvio en este caso particular de formas diferenciales. ¿ Cuál es la función a la que estás aplicando el teorema fundamental del cálculo ? Fijación $\omega$ o en tu notación $\alpha$ , estás considerando $t\mapsto f_t^*(\alpha)$ . ¿Bien?
pensamos en $t\mapsto f_t^*(\alpha)$ como una curva en el espacio lineal $\Omega^k(M)$ . La FTC también se mantiene en esta situación. @violonchelo
Sí, eso es lo que estaba preguntando. Entonces, estás considerando esta curva. $t\rightarrow f_t^*(\alpha)$ en $\Omega^p(M)$ y aplicó FTC (puedo creer esto :)) obtienes lo que has dicho. Gracias, seguiré adelante y preguntaré si hay algún problema.
definiendo $h (α) = \int_{0}^{1} i_{T} F^{*} (α)$ $h(\alpha)=\int_0^1 i_T F^*(\alpha)$ tenemos $h(d\alpha)+d(h\alpha)=f_1^*\alpha-f_0^*\alpha$ .. ¡Excelente! De alguna manera no soy capaz de entender esta extraña notación. $h α = \int_{0}^{1} i_{t}^{*} (S (multiplicacion interior) α) d t$ $h\alpha=\int_0^1 i_t^*(S (\text{interior multiplication}) \alpha)dt$ en la prueba dada en el libro de Lee... Gracias de todos modos. Esto es más o menos lo que estaba buscando. Tenga en cuenta que no producimos primero el operador de homotopía y tratamos de mostrar que la identidad está satisfecha. Tenemos algo de identidad $\int_{0}^{1} {yo}_{T} F^{*} (d α) d t + d (\int_{0}^{1} {yo}_{T} (F^{*} α) d t)$ $\int_0^1 \iota_T F^* (d\alpha) dt+ d \left( \int_0^1 \iota_T (F^*\alpha) dt\right)$ lo que nos sugirió definir $h$ como anteriormente.

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