Formas cuadradas diferenciales en cohomología

No, esto no siempre es posible. voy a analizar el caso$n = 1$porque está relacionado con la geometría simpléctica. Tenga en cuenta que el signo de$\omega' \wedge \omega'$no está bien definido sin elegir una orientación específica en$M$mientras que la condición$\omega' \wedge \omega' \neq 0$tiene sentido, así que usaré esta condición en su lugar. una forma de dos$\omega' \in \Omega^2(M;\mathbb{R})$satisface$\omega' \wedge \omega' \neq 0$en todas partes si y solo si$\omega'$está en todas partes no degenerado. Así que cuando$n = 1$, básicamente estás preguntando si, dada una clase de cohomología$[\omega]$con$\int_{M} \omega \wedge \omega \neq 0$, ¿se puede encontrar una biforma cerrada, no degenerada (es decir, simpléctica)$\omega' \in [\omega]$?

Para ver que esto no siempre es posible, tomemos por ejemplo$M = \mathbb{CP}^2 \# \mathbb{CP}^2$. Denotamos por$\omega_{FS}$la forma simpléctica del estudio de Fubini en$\mathbb{CP}^2$. Entonces$H^2(M) \cong H^2(\mathbb{CP}) \oplus H^2(\mathbb{CP})$. Dejar$\omega \in \Omega^2(M)$ser algún representante de la clase de cohomología de$([\omega_{FS}],0)$. Luego, por el cálculo del anillo de cohomología de una suma conexa , tenemos

Sin embargo, es "bien conocido" que la variedad$M$no tiene una estructura casi compleja y, por lo tanto, no tiene dos formas simplécticas en$[\omega]$(o en cualquier otra clase de cohomología).