¿Cuándo (puntualmente) las formas diferenciales distintas de cero tienen una cohomología de Rham distinta de cero?

Suponer$M$es un$n$-variedad lisa dimensional. ¿Bajo qué condiciones es verdadera la siguiente afirmación?

Si$\omega$es un cerrado$k$-formulario en$M$que es distinto de cero en todos los puntos, entonces la clase de cohomología de De Rham de$\omega$no es trivial, es decir$\omega$no es exacto

Podemos expresarlo de manera equivalente en términos de la contrapositiva:

Si$\omega$es un exacto$k$-formulario en$M$, luego se desvanece en algún punto de$M$.

Es trivialmente cierto para el caso$k=0$. Si asumimos que$M$es compacto, entonces se cumple para$k=1$y$k=n$, por diferentes razones:

• Si$\omega$es un exacto$1$-forma, entonces$\omega=df$para una función suave$f:M\to\mathbb R$. Desde$M$es compacto, la gama de$f$es un intervalo cerrado$[a,b]$. Entonces$df$desaparece en cualquier punto$p$con$f(p)=a$o$f(p)=b$.
• Si$\omega$es un no desaparecer$n$-forma, entonces su integral es distinta de cero y por lo tanto no es exacta.

Las pruebas aquí son bastante específicas para$1$y$n$, por lo que no veo ninguna razón para creer que la declaración se mantendrá para otros$k$. ¿Se mantiene para$k$otro que$1$y$n$? Si no, tendría curiosidad acerca de las dos clases generales de contraejemplos y/o condiciones más estrictas en$M$eso haría que la afirmación se mantuviera.