Este es el ejercicio 5.20 del ISM de John Lee. El texto dice que esto es simplemente una observación, pero tengo problemas para probar este hecho.
Suponer es una variedad suave y es una subvariedad sumergida. Demuestre que todo subconjunto de que está abierto en la topología subespacial también está abierto en su topología subvariedad dada; y lo contrario es cierto si y sólo si está incrustado.
subvariedad sumergida significa que está dotado de una topología (llamémosla topología subvariedad) y una estructura suave en la que el mapa de inclusión es una inmersión suave.
Dado que la topología del subespacio es la topología más gruesa en la que el mapa de inclusión es continuo, y los mapas suaves son continuos, se sigue el primer hecho. Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar que la topología subvariedad está contenida en la topología subespacial solo si está incrustado.
es una subvariedad incrustada si y solo si la inclusión es una incrustación suave, pero ya estamos suponiendo que es una inmersión suave, por lo que se sigue que es una subvariedad incrustada (en nuestro escenario dado) si y solo si es una incrustación topológica.
Bien, ahora, si descifras un poco la definición, verás que es una incrustación topológica si y solo si la topología subvariedad dada en es lo mismo que la topología del subespacio procedente de . Pero estamos en una situación en la que ya probó que la topología subvariedad es más fina que la topología subespacial, por lo que, de hecho, las dos topologías concuerdan si y solo si la topología subespacial es más fina que la topología subvariedad
usuario515010