¿Cómo demuestro que M es una subvariedad bidimensional?

Question

¿Cómo demuestro que M es una subvariedad bidimensional?

Matemáticas
subvariedad
colectores suaves

usuario123234

Tengo el siguiente problema:

Dejar $M=\{(a,b,c,d):ac=b^2, bd=c^3,ad=bc,abcd\neq 0\}$ . Demuestre que M es una subvariedad bidimensional.

Así que teníamos la siguiente definición sobre subvariedades:

definición: $M\subset \mathbb{R}^n$ es subvariedad de dimensión k si para todo $a\in M$ se cumple uno de los siguientes tres puntos equivalentes:

Para cada $a\in M$ existe un barrio abierto $U\subset \mathbb{R}^n$ y un difeomorfismo $\phi:U\rightarrow V$ donde V está abierto en $\mathbb{R}^n$ tal que $ϕ (tu \cap METRO) = V \cap (R^{k} \times {0})$ $\phi(U\cap M)=V\cap(\mathbb{R}^k\times \{0\})$
Para cada $a\in M$ existe un barrio abierto $U\subset \mathbb{R}^n$ y una inmersión $F:U\rightarrow \mathbb{r}^{n-k}$ en tal que $tu \cap METRO = tu \cap {F = 0}$ $U\cap M=U\cap\{F=0\}$
Para cada $a\in M$ existe un abierto $O\subset M$ y y abierto $O'\subset \mathbb{R}^k$ y un homeomorfismo $\phi:O'\rightarrow O$ tal que $\phi$ es una inmersión en $\phi^{-1}(a)$ y $O=\phi^{-1}(O)$

Pero de alguna manera no entiendo cómo trabajar con ellos, ¿alguien podría ayudarme por favor? Estoy en este ejercicio durante demasiado tiempo. Muchas gracias.

salvelino ártico

¿Qué has intentado para solucionar esto?

usuario123234

Realmente no tengo idea ya que no entiendo la definición/teoremas. Pensé que tal vez con este ejercicio sería más fácil de entender pero no funciona. ¿Podría explicarme qué me dice la definición y cómo trabajar con ella porque en la conferencia nuestro profesor no ha comentado esta definición, fue como un comentario al margen, aunque no hemos tratado este tema antes?

usuario123234

Estaría muy agradecido si pudieras ayudarme.

salvelino ártico

Solo necesita marcar uno de 1, 2, 3 y 2 es el más fácil de usar aquí. Si no comprende las definiciones, comience con algunos ejemplos más simples. Sabes por qué

{(a, b, c) : a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1}

$\{(a, b, c) : a^2 + b^2 + c^2 = 1\}$ es un

2

$2$ -subvariedad dimensional?

usuario123234

entonces en tu ejemplo puedo definir

f (a, b, c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1

$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-1$ , tan claramente

M = {f = 0}

$M=\{f=0\}$ entonces

D f = (2 a 2 b 2 c)

$Df=(2a\,\,\,\,\,2b\,\,\,\,\,2c)$ . Ahora tenemos que comprobar si

f

$f$ es una sumersión verdad? Pero remarcamos que desde

(0, 0, 0) \notin M

$(0,0,0)\notin M$

D f \neq 0

$Df\neq 0$ por lo tanto, tiene rango 1, por lo tanto, rango máximo. Entonces tenemos una subvariedad de dimensión 3-1. ¿Bien? Pero, ¿cómo debo comprobar que $U\cap M=U\cap \{f=0\}?

salvelino ártico

En este caso solo puedes usar

U = R^{3} ∖ {(0, 0, 0)}

$U = \mathbb R^3\setminus \{(0,0,0)\}$ .

usuario123234

Perdona, ¿hablas de tu ejercicio o del mío? Pero, ¿por qué necesito esta declaración adicional?

salvelino ártico

Mío.

${}{}{}{}{}$ . En su ejercicio, simplemente haga lo mismo. Qué es

F

$F$ ¿en esta situación?

usuario123234

creo que en mi caso

F : R^{4} \to R^{3}

$F:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3$ con

F (a, b, c, d) = (a c - b^{2}, b d - c^{2}, a d - b c)

$F(a,b,c,d)=(ac-b^2,bd-c^2,ad-bc)$ pero entonces algo con la dimensión no funcionaría? O veo esto mal

usuario123234

¿Es correcta mi F?

usuario123234

Por favor ayuda, estoy realmente muy perdido.

Respuestas (2)

¿Cómo demuestro que M es una subvariedad bidimensional?

Realmente no tengo idea ya que no entiendo la definición/teoremas. Pensé que tal vez con este ejercicio sería más fácil de entender pero no funciona. ¿Podría explicarme qué me dice la definición y cómo trabajar con ella porque en la conferencia nuestro profesor no ha comentado esta definición, fue como un comentario al margen, aunque no hemos tratado este tema antes?
Solo necesita marcar uno de 1, 2, 3 y 2 es el más fácil de usar aquí. Si no comprende las definiciones, comience con algunos ejemplos más simples. Sabes por qué $\{(a, b, c) : a^2 + b^2 + c^2 = 1\}$ es un $2$ -subvariedad dimensional?
entonces en tu ejemplo puedo definir $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-1$ , tan claramente $M=\{f=0\}$ entonces $Df=(2a\,\,\,\,\,2b\,\,\,\,\,2c)$ . Ahora tenemos que comprobar si $f$ es una sumersión verdad? Pero remarcamos que desde $(0,0,0)\notin M$ $Df\neq 0$ por lo tanto, tiene rango 1, por lo tanto, rango máximo. Entonces tenemos una subvariedad de dimensión 3-1. ¿Bien? Pero, ¿cómo debo comprobar que $U\cap M=U\cap \{f=0\}?
En este caso solo puedes usar $U = \mathbb R^3\setminus \{(0,0,0)\}$ .
Perdona, ¿hablas de tu ejercicio o del mío? Pero, ¿por qué necesito esta declaración adicional?
Mío. ${}{}{}{}{}$ . En su ejercicio, simplemente haga lo mismo. Qué es $F$ ¿en esta situación?
creo que en mi caso $F:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3$ con $F(a,b,c,d)=(ac-b^2,bd-c^2,ad-bc)$ pero entonces algo con la dimensión no funcionaría? O veo esto mal

salvelino ártico · Answer 1

La condición $abcd \neq 0$ implica que $a, b, c, d$ son todos distintos de cero. En particular,

d = \frac{b C}{a}

$d =\frac{bc}{a}$ Conéctelo a

b d = c^{3}

$bd = c^3$ , tenemos

\frac{b^{2} C}{a} = C^{3} \Rightarrow a C^{2} = b^{2}

$\frac{b^2 c}{a} = c^3\Rightarrow ac^2 = b^2$ Desde

a c = b^{2}

$ac = b^2$ , implica que

c = 1

$c = 1$ . De este modo

a = b^{2}, d = 1 / b

$a = b^2, d = 1/b$ . Por eso

METRO = {(b^{2}, b, 1, b^{- 1}) : b \in R ∖ {0}}

$M = \{ (b^2, b, 1, b^{-1}) : b\in \mathbb R\setminus \{0\}\}$

y de hecho $M$ es unidimensional.

Con eso en mente, uno considera

F : tu \to R^{3}, F (a, b, C, d) = (a - b^{2}, C - 1, d - b^{- 1}),

$F : U \to \mathbb R^3, F(a, b, c, d) = (a-b^2, c-1, d-b^{-1}),$ dónde

U = {(a, b, c, d) : a b c d \neq 0}

$U = \{ (a, b, c, d) : abcd\neq 0\}$ . Está claro que

F^{- 1} (0, 0, 0) = M

$F^{-1}(0,0,0) = M$ y

D F = [\begin{matrix} 1 & - 2 b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & b^{- 2} & 0 & 1 \end{matrix}]

$DF = \begin{bmatrix} 1 & -2b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & b^{-2} & 0 & 1\end{bmatrix}$ claramente tiene rango completo (considere la primera, tercera y cuarta columna). Así la definición 2,

M

$M$ es una subvariedad unidimensional en

R^{4}

$\mathbb R^4$ .

Pero M debería ser una subvariedad bidimensional, así que escribieron esto en el ejercicio
@Wave Tu pregunta es incorrecta. ES una subvariedad unidimensional como mostré yo (y otro usuario).
¿Quieres decir que mi profesor nos escribió una pregunta equivocada? Oh no, esto es horrible
Es una subvariedad unidimensional. No sé por qué tu profesor dijo lo contrario. @Ola
Sí, creo que ese es el punto por el que estaba tan confundido porque en mis cálculos mi Df tenía rango 3, por lo que la subvariedad tenía dimensión 4-3 = 1 y siempre pensé que tenía que ser 2
@Wave En el futuro, también muestre su trabajo en la publicación, para que sepamos exactamente dónde está confundido...

Thule Gadelankz · Answer 2

Puedes demostrar que las cuatro ecuaciones son equivalentes a $a =\frac{1}{d^2}, b = \frac{1}{d}, c = 1$ . Dejar $\Omega = \mathbb{R} - \{0 \}$ y definir un mapa $F : \Omega \to \mathbb{R}^4$ por

F (d) = (\frac{1}{d^{2}}, \frac{1}{d}, 1, d) .

$F(d) = \bigg( \frac{1}{d^2}, \frac{1}{d}, 1, d \bigg).$

$F$ es claramente un difeomorfismo de $\Omega$ sobre $M$ .

okey pero $DF=(\frac{-2}{d^3}, \frac{-1}{d^2},0,1)$ y por lo tanto tiene el rango 1, ¿verdad? ¿Pero entonces tenemos una variedad de rango 4-1=3 y no dos?

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