Isomorfismo entre el espacio de formas diferenciales y el espacio de formas básicas en el paquete principal S1S1S^1 e independencia de la clase de cohomología

Dejar$M$ser un director$S^1$-haz, es decir, una variedad suave con un suave$S^1$-acción (multiplicación a la derecha) que no tiene puntos fijos tal que las órbitas a través de cada punto$p \in M$, eso es,

$$\mathcal{O}_p = \{p \cdot z \ \mid z \in S^1 \}$$ son las fibras de una sumersión$h:M \to B$, dónde$B$es otra variedad suave.

Definamos el campo vectorial$V$en$M$como tal:

$$\forall p \in M: V_p = \frac{d}{dt}\bigg\rvert_{t = 0} p \cdot e^{2\pi it}.$$ (También lo he definido en una de mis preguntas anteriores - Flujo de campo vectorial$V_p = \frac{d}{dt} \left|_{t=0} \right. \ p \cdot e^{2\pi it}$en un múltiple$M$con un$S^1$-acción ).

Ahora llamemos a una forma diferencial$\omega$en$M$ horizontales si$i_V(\omega) = 0$, equivalente si$R_\lambda^*\omega = \omega$para cada$\lambda \in S^1$, dónde$R_\lambda(p):= p \cdot \lambda$, y básico si es a la vez. Las propiedades triviales de estas formas son las siguientes: si$\omega$es equivalente, entonces$dw$es también equivalente;$\omega$es equivalente si y solo si$\mathcal{L}_V(\omega) = 0$, y si$\omega$entonces es basico$dw$también es básico.

Quiero probar dos cosas: en primer lugar:$(i)$eso$h^*$es un isomorfismo (lineal) entre el espacio de formas diferenciales en$B$y el espacio de todas las formas básicas en$M$, y en segundo lugar:$(ii)$si tomamos un diferencial$1$-formulario en$M$tal que$\omega(V) = 1$y tomar$\eta$tal que$dw = h^*\eta$(que existe por$(i)$), entonces$\eta$es una forma cerrada y la clase de cohomología de De Rham de$\eta$(lo denotaremos por$[\eta]$) es independiente de la elección de$\omega$.

Para$(i)$, estoy bastante seguro de que la inyectividad de$h^*$se sigue de las propiedades del pullback, ya que si$\omega$y$\eta$son diferenciales$k$-formas en$B$tal que

$$h^*\omega = h^*\eta,$$ luego para cada campo vectorial$X^1, \cdots, X^k \in \mathfrak{X}(M)$, tenemos eso$\forall p \in M$, $$\begin{equation} \omega_{h(p)}((dh)_p(X^1_p), \cdots, (dh)_p(X^k_p)) = \eta_{h(p)}((dh)_p(X^1_p), \cdots, (dh)_p(X^k_p)), \ \ \ (1) \end{equation}$$ entonces si queremos probar que para algunos campos vectoriales$Y^1, \cdots Y^k \in \mathfrak{X}(B)$, $$\omega(Y^1, \cdots, Y^k) = \eta(Y^1, \cdots, Y^k),$$ podemos elegir la sobreyectividad de$dh$para elegir algunos campos vectoriales tales que$(1)$Está satisfecho.

Sin embargo, tengo problemas para probar que$h^*$es sobreyectiva y que en realidad está bien definida, con lo cual quiero decir que$h^*\eta$es una forma básica de$M$cuando$\eta$es una forma diferencial en$B$, ya que no sé cómo empezar.

Para$(ii)$, vemos eso$\eta$está cerrado porque$h^*$es un isomorfismo de$(i)$y porque el pullback conmuta con el operador de Rham. Sin embargo, tampoco estoy seguro de cómo probar que la clase de cohomología de$\eta$es independiente de$\omega$.