Una variedad uniforme admite una forma n que desaparece en ninguna parte si es orientable

Question

Una variedad uniforme admite una forma n que desaparece en ninguna parte si es orientable

Matemáticas
orientación
colectores suaves
formas-diferenciales
geometría diferencial

Víctor Gustavo Mayo

Existe este teorema bien conocido (el del título), estoy leyendo una demostración en la Introducción integral a la geometría diferencial de Spivak , y tengo una pregunta con respecto a un paso en él. En primer lugar, la definición de orientabilidad utilizada en este libro es la siguiente:

un colector $M$ se llama orientable si hay una colección $\mu=\{\mu_p\}$ en cada fibra $\pi^{-1}(p)$ de $TM$ , tal que para la trivialización local $(t,U)$ con $t:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb{R}^n$ , dónde $\mathbb{R}^n$ se le da una orientación fija. Entonces $t$ es la orientación preservada o invertida en todas las fibras.

La prueba de (forma n que no desaparece) $\Rightarrow$ $M$ es orientable) es bastante sencillo, la prueba de lo contrario es la que realmente no entiendo. Primero dotamos $M$ de tapa $\mathcal{O}$ que consisten en sistemas de coordenadas locales $(x,U)$ y una partición de unidad $\{\phi_U \}_{U\in \mathcal{O}}$ . Para cada $(x,U)$ elegimos una forma n $\omega_U$ en $U$ tal que para $v_1,\ldots, v_n\in T_pM$ para $p\in M$ tenemos

ω_{tu} (v_{1}, \dots, v_{norte}) > 0 \Leftrightarrow [v_{1}, \dots, v_{norte}] = m_{pag}

$\omega_U(v_1,\ldots, v_n)>0\Leftrightarrow [v_1,\ldots, v_n]=\mu_p$ . A continuación definimos

ω = \sum_{tu \in O} ϕ_{tu} ω_{tu}

$\omega=\sum_{U\in \mathcal{O}}\phi_U \omega_U$ Entonces esto casi inmediatamente completa la prueba ya que para cada

p

$p$ , la suma es finita y siempre no negativa.

Bien, entonces mi pregunta es. Por que es $\omega$ ¿liso? ¿Es realmente necesaria la partición de la unidad? Lo que quiero decir con esto último es que parece que solo necesitábamos $\mathcal{O}$ para ser localmente finito, no necesitamos las funciones, simplemente podríamos reemplazarlas por el mapa constante $1$ .

Mi idea de la construcción de $\omega_U$ es que debe ser definido por un determinado $(x,U)$ a partir de la cual generamos la portada $\mathcal{O}$

ω_{tu} = d X^{1} \land \dots \land d X^{norte}

$\omega_U=dx^1\wedge \ldots \wedge dx^n$ Aquí podemos suponer que

[x^{1}, \dots, x^{n}] = μ_{p}

$[x^1,\ldots, x^n]=\mu_p$ , de lo contrario, simplemente reorganícelos. Esto es claramente distinto de cero en

U

$U$ . Pero, ¿cómo es la definición global de

ω

$\omega$ ¿liso?

Ted Shifrin

Necesita particiones de unidad, como siempre, para unir objetos suaves definidos localmente para definir un objeto global.

ω_{U}

$\omega_U$ se define solo en

U

$U$ .

Víctor Gustavo Mayo

Y las funciones no podrían ser reemplazadas por la función característica del conjunto. es decir

ϕ_{U} \to χ_{U}

$\phi_U \to \chi_U$ Donde esta función es 1 en U y 0 en cualquier otro lugar.

Ted Shifrin

¡Terminarías siendo algo muy discontinuo! ¡Pruébalo con funciones!

Víctor Gustavo Mayo

¡Bien, excelente! Veo esto ahora. Cuando “pego” las “formas locales” puede que no tenga continuidad. Pero, ¿cómo proporciona esto la partición de la unidad, y mucho menos la suavidad? ¿Podría dar alguna referencia o tal vez dar más detalles sobre esto?

Matematleta

Encontré la construcción de funciones de choque y luego particiones de unidad, hechas desde cero, muy fáciles de leer en el libro de Tu .

Ted Shifrin

He escrito otras publicaciones aquí sobre particiones de unidad. Cada

ϕ_{U}

$\phi_U$ es suave y

0

$0$ fuera de un subconjunto compacto de

U

$U$ . Antes de continuar, debe comprender por qué el producto

ϕ_{U} f_{U}

$\phi_U f_U$ es suave para cualquier función suave, forma...

f_{U}

$f_U$ definido en

U

$U$ .

Víctor Gustavo Mayo

Esto se sigue de la suma finita del producto de pares de funciones suaves, ¿no es así?

Respuestas (1)

Una variedad uniforme admite una forma n que desaparece en ninguna parte si es orientable

Necesita particiones de unidad, como siempre, para unir objetos suaves definidos localmente para definir un objeto global. $\omega_U$ se define solo en $U$ .
Y las funciones no podrían ser reemplazadas por la función característica del conjunto. es decir $\phi_U \to \chi_U$ Donde esta función es 1 en U y 0 en cualquier otro lugar.
¡Terminarías siendo algo muy discontinuo! ¡Pruébalo con funciones!
¡Bien, excelente! Veo esto ahora. Cuando “pego” las “formas locales” puede que no tenga continuidad. Pero, ¿cómo proporciona esto la partición de la unidad, y mucho menos la suavidad? ¿Podría dar alguna referencia o tal vez dar más detalles sobre esto?
Encontré la construcción de funciones de choque y luego particiones de unidad, hechas desde cero, muy fáciles de leer en el libro de Tu .
He escrito otras publicaciones aquí sobre particiones de unidad. Cada $\phi_U$ es suave y $0$ fuera de un subconjunto compacto de $U$ . Antes de continuar, debe comprender por qué el producto $\phi_U f_U$ es suave para cualquier función suave, forma... $f_U$ definido en $U$ .
Esto se sigue de la suma finita del producto de pares de funciones suaves, ¿no es así?

toby bartels · Answer 1

La razón que $\omega$ es suave es que, cerca de cualquier punto dado, está definido por una suma finita de términos suaves. Una suma infinita de funciones suaves no es necesariamente suave; es por eso $\mathcal O$ debe ser localmente finito. Y necesitamos una partición de la unidad construida a partir de funciones de choque suave, no solo algo así como funciones características de una partición del conjunto de puntos, de modo que el $\phi _ U$ será suave. Por supuesto, el $\omega _ U$ son suaves ya que se definen como una función suave de las coordenadas locales y sus diferenciales.

Si no recuerdo mal, Spivak tiene una discusión general sobre las particiones de unidad algún tiempo antes de la discusión sobre la orientación; comprobar el índice. Esto debería ayudar a reforzar la importancia de la finitud local y las funciones de relieve suave. Querrás entender esto, porque es un truco que se usará una y otra vez para probar que algo que existe localmente también puede existir globalmente.

Por cierto, no solo necesitas eso cada $\omega _ U$ es distinto de cero en $U$ pero eso $\sum _ U \phi _ U \omega _ U$ es distinto de cero en todos los puntos. Aquí es importante que cada $\omega _ U$ tiene la misma orientación. Es por eso que, sin la hipótesis de que existe una orientación global, aún no podría probar que una orientación global distinta de cero $n$ -forma existe.

¡Muchas gracias! Sí, volví allí por esto. Y sí, ese último comentario que hiciste, lo noté. Gracias.

Una variedad uniforme admite una forma n que desaparece en ninguna parte si es orientable

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Ted Shifrin

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Matematleta

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toby bartels

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