Localmente Euclidiana, Hausdorff y Segunda Contable son condiciones independientes

Al definir una variedad suave$M$, generalmente se requiere$M$ser un espacio topológico que satisfaga estos$3$condiciones:

1) Localmente euclidiana

2) Hausdorf

3) Segundo contable

Quiero verificar que estas son condiciones independientes, es decir, que uno puede encontrar un espacio topológico para cada combinación:

a) Localmente euclidiana + no Hausdorff + no segunda contable

b) No localmente euclidiana + Hausdorff + no segunda contable (Ej.:$\mathbb{R}$con topología gruesa)

c) No localmente euclidiana + no Hausdorff + segunda contable

d) Localmente euclidiana + Hausdorff + no segunda contable (Ej.: la línea larga$\omega_1\times[0,1)\setminus\{(0,0)\}$)

e) Localmente euclidiana + no Hausdorff + segunda contable

f) No localmente euclidiana + Hausdorff + segunda contable (Ej.: unión de dos líneas concurrentes en$\mathbb{R}^2$)

Todavía estoy luchando con a), c) y e), ya que los espacios que no son de Hausdorff siempre son tan difíciles de pensar... ¿Alguna idea?