Variedad con límite y límite topológico

Tomemos un ejemplo simple que vive en ambas situaciones. Si$X$es cualquier espacio topológico, el límite topológico de$X$es$\varnothing$. Ahora, considere el caso$X=[0,1]$dotado de la topología subespacial euclidiana heredada. Este es también el ejemplo más simple de un$1$-manifold con límite. Como dije antes, el límite topológico es$\varnothing$. Sin embargo, el límite de la variedad es el$2$conjunto de puntos$\{0,1\}$. Si en cambio consideras$[0,1]$como un subconjunto del espacio$\mathbb{R}$entonces su límite topológico es$\{0,1\}$, que es donde radica tu confusión.

El límite topológico es igual al límite de la variedad si y solo si el límite de la variedad está vacío.

Explicación: Deja$(X,T,A)$sea ​​una variedad, es decir, sea$T$ser una topología en$X$y deja$A$ser un atlas para$(X,T)$. El límite topológico - el límite de$X$con respecto a$T$- es igual a la frontera de la variedad - la frontera de$X$con respecto a$(T,A)$- si y solo si el límite múltiple está vacío, ya que el límite topológico siempre está vacío en esta situación.

Estás mezclando manzanas con naranjas.

El concepto de límite topológico es un concepto relativo: dado un espacio topológico$X$y un subconjunto$Y \subset X$, el límite de$Y$relativo a$X$es, por definición,$\overline Y \cap \overline{X-Y}$. Muy a menudo "$X$" se da, y se deja fuera de la terminología, restringimos nuestra atención a un subconjunto específico de$X$, y luego pensamos en el límite topológico de ese subconjunto; y esto conduce a una gran confusión que podría aclararse enfatizando que estamos pensando en el límite topológico de ese subconjunto en relación con$X$.

Dado un espacio topológico general$X$, supongo que podría decidir definir su límite topológico como el límite de$X$relativo a$X$, pero eso sería terriblemente aburrido, porque siempre está vacío.