matemáticas sin infinito

Sorprendentemente, el infinito resulta necesario incluso para las matemáticas combinatorias finitas. Para obtener una buena explicación de por qué no puede existir una disciplina completa e independiente de matemáticas combinatorias finitas, consulte la reseña de Stephen G. Simpson de su charla expositiva Teoremas indemostrables y funciones de rápido crecimiento, Matemáticas contemporáneas . 65 1987, 359-394.

Simpson brinda una discusión detallada de tres teoremas sobre objetos finitos cuyas pruebas requieren necesariamente el uso de conjuntos infinitos. Los tres teoremas discutidos son sobre coloraciones de conjuntos finitos (teorema de Ramsey finito modificado), incrustaciones de árboles finitos (forma finita de Friedman del teorema de Kruskal) y notación exponencial iterada para números enteros (teorema de Goodstein).

A continuación se muestra un extracto de la introducción.

$\quad$El propósito de la charla es exponer algunos resultados recientes (1977 y posteriores) en los que la lógica matemática ha afectado a la combinatoria finita. Como la mayoría de las buenas investigaciones en lógica matemática, los resultados que voy a discutir tuvieron su origen en problemas filosóficos relacionados con los fundamentos de las matemáticas. Específicamente, los resultados discutidos aquí se inspiraron en la siguiente pregunta filosófica. ¿Podría existir algo así como una disciplina comprensiva e independiente de matemáticas combinatorias finitas?
$\quad$Es bien sabido que gran parte del razonamiento sobre estructuras combinatorias finitas puede llevarse a cabo de forma finita y autosuficiente, es decir, sin referencia alguna a estructuras o conjuntos infinitos. Tengo en mente ramas enteras de las matemáticas como la teoría de grafos finitos, la teoría de redes finitas, geometrías finitas, diseños de bloques, gran parte de la teoría de grupos finitos (excluyendo la teoría de caracteres, en la que se hace uso del campo de los números complejos) y grandes partes de la teoría de números (incluyendo las partes elementales pero excluyendo técnicas analíticas como las integrales de contorno). Uno podría imaginar fácilmente libros de texto completos de estos temas en los que los conjuntos infinitos nunca se mencionan, ni siquiera tangencialmente. Todo el razonamiento en tales libros de texto estaría relacionado exclusivamente con estructuras y conjuntos finitos.
$\quad$En consecuencia, existe una fuerte impresión ingenua de que la respuesta a nuestra pregunta filosófica antes mencionada es "sí".
$\quad$Sin embargo, las impresiones ingenuas pueden ser engañosas. Voy a discutir tres resultados recientes de la lógica matemática que apuntan a una respuesta de "no". A saber, presentaré tres ejemplos de teoremas combinatorios que son finitistas en sus enunciados pero no en sus demostraciones. Cada uno de los tres teoremas es simple y elegante y se refiere solo a estructuras finitas. Cada uno de los tres teoremas tiene una demostración simple y elegante. El único problema es que cada una de las pruebas utiliza un conjunto infinito en algún punto crucial. Además, profundas investigaciones lógicas han demostrado que los conjuntos infinitos son, de hecho, indispensables. Cualquier prueba de uno de estos teoremas combinatorios finitos debe implicar un rodeo por el infinito. Por lo tanto, en un fuerte sentido relativo, los tres teoremas son "no demostrables"

¿Las matemáticas requieren un$\infty$? Esto supone que todas las matemáticas se rigen de alguna manera por un solo conjunto de reglas universalmente acordadas, como si el infinito es un concepto necesario o no. Este no es el caso.

Podría afirmar que las matemáticas no requieren nada, aunque un matemático requiere muchas cosas (como café y papel para convertirlos en teoremas, etc., etc.). Pero este es un concepto nítido (como una desigualdad nítida), y no quiero desviar la conversación de un camino valioso.

Entonces, en cambio, afirmaré lo siguiente: hay ramas de las matemáticas que se basan en el infinito y otras ramas que no. Pero la mayoría de las ramas confían en el infinito. Entonces, en este sentido, creo que la mayoría de las matemáticas que se practican todos los días se basan en un sistema de lógica y un conjunto de axiomas que incluyen infinitos de varias maneras.

Quizás una pregunta diferente que es más fácil de responder es: "¿Por qué las matemáticas tienen el concepto de infinito?" A esto, tengo una respuesta muy rápida, porque$\infty$es útil. Le permite tomar más límites, permite establecer reglas más generales y permite un mayor juego para campos como Topología y Análisis.

Y por cierto, en tu pregunta distingues entre$\lim _{x \to \infty} f(x)$y$\lim _{y \to 0} f(\frac{1}{y})$. Sólo porque nos escondemos detrás de una fina cortina, es decir, fingiendo que$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y}$es solo otro nombre para el infinito, no significa que en realidad estemos evitando un infinito conceptual.

Entonces, para concluir, digo que las matemáticas no requieren $\infty$. Si de alguna manera, nadie imaginara cuán grandes se vuelven las cosas 'allí' o considerara preguntas como Cuántas funciones hay desde los números enteros hasta tal y tal conjunto , las matemáticas aún continuarían. Pero es útil, y hay pocas razones para ignorar su existencia.

Hay muchas nociones diferentes de "infinito" en matemáticas, y no ha definido lo que quiere decir con infinito, por lo que su pregunta no tiene una respuesta bien definida. Pero permítame tratar de interpretar su pregunta de la forma en que creo que la quiso decir y tratar de aclarar cierta confusión.

Permítanme decir primero que en la mayoría de las matemáticas convencionales, el símbolo$\infty$es meramente notación , y no un objeto real .

1. Por ejemplo, cuando decimos que el tamaño del conjunto$\mathbb R$de números reales es "infinito", simplemente queremos decir que no es finito, es decir, que no contiene exactamente un número entero de elementos. Nada más mágico que eso. No queremos decir que contiene exactamente algún número $\infty$de elementos

2. Para otro ejemplo, cuando decimos que$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, no queremos decir que el límite es igual a algún número $\infty$cuando$x$se acerca a ese mismo numero$\infty$. La notación de límite$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$es en realidad un caso especial, y necesita su propia definición, a diferencia de la definición de$\lim_{x\to a}f(x)=b$dónde$a,b$son números reales. Por definición, la notación$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$significa que podemos hacer$f(x)$más grande que cualquier número dado$N$Dejando$x$ser mayor que algún número$M$Dependiendo de$N$. (La definición formal es$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$si y solo si$\forall N>0\exists M>0: x>M\implies f(x)>N.$) En esta definición, no se menciona ningún objeto llamado$\infty$. Esta es una distinción importante. Cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo, usaron un "número"$\infty$en sus derivaciones, que suele dar respuestas correctas, pero hay casos en que hacerlo resulta en paradojas. Por lo tanto, se hizo un gran esfuerzo para reformular el cálculo sin usar infinitos, por ejemplo, usando la definición de límite anterior. (Para obtener más información sobre esto, puede leer la sección de Wikipedia sobre los fundamentos del cálculo ).

Por esta razón, yo diría que$\infty$no es "usado" o "requerido" en la mayoría de las matemáticas, porque es solo una notación, y no un objeto en sí mismo.

Sin embargo, uno puede construir objetos para representar algún tipo de "infinito" y usarlos como herramientas en matemáticas. Déjame decirte cómo hacer esto con los dos ejemplos anteriores.

1. Uno puede asignar un "número"$|S|$a cualquier conjunto$S$, llamado número cardinal , que representa el tamaño de ese conjunto. Para cualquier conjunto finito, será solo un número entero, el número de elementos en ese conjunto. Pero los conjuntos infinitos también tendrán un tamaño, y podemos verlos como números infinitos. En este escenario, existen muchos números infinitos diferentes, no solo uno. Y fascinantemente, uno puede mostrar que$|\mathbb Z|=|\mathbb Q|<|\mathbb R|$, es decir, el número de números enteros es el mismo que el número de números racionales (!), ¡pero el número de números reales es estrictamente mayor que el número de números enteros (o racionales)!

2. En cálculo, en lugar de trabajar con el conjunto de números$\mathbb R$, se puede trabajar con los reales extendidos $\bar{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$, que consta de todos los números reales, y dos nuevos objetos que denotaremos por$-\infty$y$+\infty$. Estos dos nuevos objetos son formalmente solo símbolos, y hasta ahora no tienen ningún significado. Entonces podemos introducir una noción de "vecindarios" de números. Una vecindad de un número real es simplemente algo que contiene un conjunto abierto alrededor de ese número real. un barrio de$+\infty$es cualquier conjunto que contiene un intervalo$\{x:x>a\}\cup\{+\infty\}$por algún número real$a$. Ahora podemos definir el límite.$\lim_{x\to a}f(x)=b$de la siguiente manera: para cualquier barrio$N$de$b$, existe un barrio$M$(dependiendo de$N$) de$a$tal que si$x\in M$, entonces$x\in N$. Esta definición también sirve para$a=+\infty$y$b=+\infty$! Por lo tanto, hemos logrado definir el límite$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$en realidad en términos de un objeto $+\infty$.

Para finalizar mi comentario, hay ciertas áreas de las matemáticas en las que algunos conceptos se expresan de manera más natural en términos de infinitos, y algunas personas estudian explícitamente los infinitos solo porque los encuentran interesantes.