¿Qué es la geometría sintética?

Dependiendo de la educación que haya tenido, es probable que la diferencia sea básicamente entre los cursos de álgebra y geometría de su escuela. En un primer curso de geometría, generalmente obtiene una lista de axiomas para puntos y líneas (se puede dibujar un segmento de línea recta entre dos puntos cualesquiera, etc.). Luego, crea pruebas de propiedades de figuras en el plano usando estos axiomas, sin escribir nunca abajo cualquier ecuación algebraica. Específicamente, nunca usas coordenadas en el plano al hacer este tipo de geometría, que es lo que se llama sintético.

Los antiguos griegos llevaron la geometría sintética en el espacio plano y tridimensional a un nivel asombroso, mucho más allá de lo que casi nadie aprende hoy. Por ejemplo, entendieron las "secciones cónicas", es decir, parábolas, elipses (círculos) e hipérbolas, casi por completo. Pero hoy por lo general piensas en una parábola, por ejemplo, como el gráfico de una ecuación$y=ax^2+bx+c$. Es esta ecuación, que requiere elegir un par de ejes de coordenadas en el plano y una unidad de longitud en cada eje, lo que usa la geometría analítica que evita la geometría sintética. La distinción sintético-analítica todavía es muy visible en la investigación geométrica moderna, aunque las cuestiones particulares de interés han cambiado drásticamente.