¿Cuál es el conocimiento requerido en lógica requerido para estudiar el forzamiento?

Pasé el último mes más o menos leyendo y haciendo los ejercicios de los capítulos 1-6 del texto de Jech, sin embargo, noté un patrón en cómo se construye la Parte I. Tal como se ve, de los 12 capítulos de la Parte I, los primeros 6 capítulos tratan sobre la teoría de conjuntos bastante básica que cualquier primer curso cubriría (axiomas ZF, ordinales, cardinales, elección, regularidad), y los segundos 6 capítulos parecen ser aplicaciones de estas ideas a otros campos de las matemáticas. Por ejemplo, un capítulo sobre combinatoria, un capítulo sobre análisis y medidas reales, un capítulo sobre álgebra booleana, etc. Algo de esto no se ajusta a este patrón, pero en general, parece que los capítulos 7-12 son bastante saltables para forzar. Así que sigo adelante y empiezo el Capítulo 13.

Una vez que paso al Capítulo 13, me pierdo muy rápidamente. Parece que esta parte del texto tiene mucha más lógica que las otras partes. Tengo una buena comprensión de la lógica proposicional y de predicados, pero no tengo experiencia en teoría de modelos ni nada más. Entonces mi pregunta es la siguiente:

Para aquellos que tienen el texto de Jech: ¿son realmente saltables los capítulos 7-12 para empezar a forzar? ¿Y cuál es el trasfondo recomendado en lógica para empezar a forzar? Diga... capítulos 13-15 en Jech.

Para aquellos que no tienen el texto de Jech, como quiero hacer esta pregunta más accesible: Olvídense de los números de capítulo y el texto específico. ¿Cuánta lógica debo saber y revisar antes de empezar a forzar?

Los capítulos 7-12, lejos de ser "aplicaciones de estas ideas a otros campos de las matemáticas", son introducciones a varios temas muy centrales e importantes en la teoría de conjuntos. Este material es esencial para cualquier persona que quiera tener una buena idea del tema en general. También puede encontrar esos capítulos más fácilmente accesibles que los posteriores (como forzar), y deberían servir para prepararlo de manera más intuitiva (y de hecho directamente, en particular los capítulos 7 y 12) para ello. Así que mi consejo sería simplemente seguir avanzando linealmente. Si realmente quiere saltarse partes, lea al menos los capítulos 7 y 12 primero.
Con respecto al capítulo 13: probablemente también sea pedagógicamente mejor leer el capítulo 13 antes que el capítulo 14, y existe cierta dependencia directa, pero el desarrollo de la teoría principal del forzamiento no se basa en el capítulo 13.

Respuestas (1)

La ruta más rápida para forzar es probablemente Forcing for Mathematicians de Nik Weaver . Te lleva desde la definición de un ordinal hasta la independencia de C H en unas 50 páginas.

Sugeriría usar un texto diferente al de Jech para forzar. Utiliza álgebras booleanas, que están un poco en desuso hoy en día (el propio Jech las abandona con bastante rapidez), y su tratamiento es muy conciso. La teoría de conjuntos de Kunen sería una mejor introducción. Creo que el prefacio (de la edición de 2013) te dice exactamente qué capítulos necesitas leer para entender el capítulo sobre forzar.

Hay un libro muy nuevo (2021) de Mirna Džamonja llamado Fast Track to Forcing , cuyo título parece muy relevante, pero no lo he leído y, por lo tanto, no puedo comentarlo.

Para responder realmente a su pregunta, felizmente puede omitir los capítulos 7-11 en Jech (esto se refiere a la 3ra edición). Sin embargo, el capítulo 12 es de lectura obligatoria, ya que ahí es donde se introduce lo absoluto.

Para usos de fuerza que requieren cardinales grandes o combinatoria más fina, es posible que deba volver atrás y leer algunas de las cosas que omitió, pero creo que lo anterior es suficiente para comprender los conceptos básicos. Aún así, una vez más te animo a que mires a Kunen en su lugar. Si debe leer a Jech, tener una copia de Bell's Set Theory: Boolean-Valued Models and Independence Proofs podría ser una buena idea, ya que brinda muchos más detalles que Jech.

Esta es una información realmente útil. Unas pocas cosas. En primer lugar, ¿podría explicar un poco más lo que quiere decir con el tratamiento de Jech de forzar siendo conciso? En segundo lugar, ¿crees que sus capítulos sobre cardenales grandes y forzados, es decir, cap. 16-21 están bien escritos? Me gustaría leer más de eso. No he tenido problemas con Jech hasta ahora, y supongo que la única razón por la que lo sigo es porque es bueno tener toda la teoría de conjuntos relacionada en un solo texto. Es bastante enciclopédico.
No recomendaría el libro de Mirna como una introducción al forzamiento para personas que, para empezar, no conocen suficiente teoría de conjuntos. Es un buen libro con muchos ejemplos, pero no sé si la pregunta "¿Qué lógica necesito antes de acercarme al forzamiento" es la que responde el libro.
No es cierto que las álgebras booleanas (en relación con el forzamiento) estén "depreciadas" (¿obsoletas?). Las álgebras booleanas son muy importantes, útiles y se presentan comúnmente para forzar argumentos. En cuanto a la introducción del forzamiento, es solo una forma ligeramente diferente de hacerlo. No tengo mucha idea de cuántas personas tienden a usar/preferir un método u otro para aprenderlo. Pero también tiendo a preferir el enfoque de Kunen, ya que me parece un poco más concreto.
@FarmerS Sí, puede que haya sido demasiado duro con mi redacción (¡y gracias por detectar el error tipográfico!). Creo que el enfoque de poset es más fácil de entender (con todos los detalles incluidos) para alguien que acaba de empezar.
@ Luna145 Todo lo que quiero decir con "conciso" es que faltan muchos detalles en los argumentos, hasta el punto de que alguien que no esté familiarizado con el material podría tener dificultades para llenar los vacíos. Estoy de acuerdo en que Jech es enciclopédico, y algunos de los capítulos son excelentes introducciones a los temas de la teoría de conjuntos. Simplemente no creo que el capítulo sobre forzar caiga en esa categoría.
Así que realmente aprecio sus excelentes respuestas, pero quiero usar el texto de Jech, y todavía no estoy muy seguro de si mi pregunta ya ha sido respondida. ¿Cuánta lógica debo saber antes de sumergirme en forzar el texto de Jech? Noto un poco de teoría de modelos, pero aún no he profundizado en nada de eso. Recibí muchas buenas respuestas sobre cómo Jech fuerza y ​​otros recursos, pero esa parte no se ha discutido.
@Luna145 Necesita saber: los axiomas de ZFC, conjuntos bien ordenados, ordinales, cardinales, inducción/recursión transfinita, relativización, absolutismo, modelos transitivos, álgebras booleanas y terminaciones, Δ -sistemas de conjuntos finitos. También necesita saber acerca de las teorías consistentes/inconsistentes y el significado de la consistencia relativa. Eso es lo mínimo para seguir las matemáticas, al menos línea por línea, y comprender por qué el método de forzado muestra que Z F C + ¬ C H es consistente si Z F C es. Para obtener una mejor apreciación de lo que está pasando, probablemente sea una buena idea...
@Luna145 para conocer el teorema de la reflexión, el teorema de Downards Löwenheim-Skolem, el isomorfismo del colapso de Mostowski. En mi opinión, también es importante conocer los enunciados del segundo teorema de incompletitud de Gödel y el teorema de la indefinibilidad de la verdad de Tarski. No son necesarios para desarrollar nada de la teoría, pero son una señal en el camino que dice "lo que estás tratando de hacer no puede funcionar". También debe sentirse cómodo trabajando en una teoría frente a trabajar en la metateoría.
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