¿Por qué se llama topología final/inicial?

Se llama "inicial" porque definimos una nueva topología en un conjunto$X$cuando tenemos mapas$f_i:X \to (Y_i, \mathcal{T}_i), i \in I$que debe volverse continuo. Entonces, la topología inicial definida en el "inicio" de las flechas.

Lo mismo con "final" y el hecho de que definimos una topología en el codominio común de una familia$f_i: (X_i, \mathcal{T}_i) \to X, i \in I$, por lo que al "final" de las flechas. Así es como me lo enseñaron de todos modos.

También hay una buena simetría en que las topologías finales son máximas y las topologías iniciales son mínimas (siempre tenemos al menos una topología que funciona trivialmente, discreta para la situación inicial, indicreta para la final). El conjunto de mapas también se denomina "sumidero" (final) o "fuente" (inicial), y también explota la analogía de la dirección (como si la flecha estuviera fluyendo agua). No soy un historiador de la topología, pero creo que la terminología comenzó con los "topólogos categóricos" alemanes como Preuss y Herrlich.