¿Cuál es la motivación para las formas diferenciales?

Spivak parece dedicar más tiempo a desarrollar la intuición en su libro Una introducción completa a la geometría diferencial, volumen 1. En la p. 111, en el capítulo 4, escribe:

Los geómetras diferenciales clásicos (y los analistas clásicos) no dudaron en hablar de cambios "infinitamente pequeños"$dx^i$de las coordenadas$x^i$, tal como lo había hecho Leibnitz. Nadie quería admitir que esto era una tontería, porque los verdaderos resultados se obtienen cuando estas cantidades infinitamente pequeñas se dividen entre sí (siempre que se haga de la manera correcta).

Eventualmente se dio cuenta de que lo más cercano que se puede llegar a describir un cambio infinitamente pequeño es describir una dirección en la que se supone que ocurre este cambio, es decir, un vector tangente. Desde$df$se supone que es el cambio infinitesimal de$f$bajo un cambio infinitesimal del punto,$df$debe ser una función de este cambio, lo que significa que$df$debe ser una función sobre vectores tangentes. El$dx^i$luego se metamorfosearon en funciones, y quedó claro que deben distinguirse de los vectores tangentes$\partial/\partial x^i$.

Una vez que se dio cuenta de esto, solo era cuestión de hacer nuevas definiciones, que preservaran la notación anterior , y esperar a que todos se pusieran al día. En resumen, todas las nociones clásicas que involucran cantidades infinitamente pequeñas se convirtieron en funciones sobre vectores tangentes, como$df$, a excepción de los cocientes de cantidades infinitamente pequeñas, que se convirtieron en vectores tangentes, como$dc/dt$.

Los usos más obvios de las formas diferenciales están relacionados con la integración. Son el lenguaje en el que expresamos el teorema de Stokes, por ejemplo: siempre que tenga una variedad compacta y orientable$M^n$con frontera, la integral de a$(n-1)$-forma$\omega$encima$\partial M$es igual a la integral de$\mathrm{d}\omega$encima$M$(en particular, la integral de una forma exacta sobre una variedad cerrada es siempre cero, como lo es la integral de una forma cerrada sobre el límite).

Eso no es todo, por supuesto. Por ejemplo, las formas cerradas/exactas que mencionó dan la cohomología de de Rham, una invariante topológica importante. Hay más, pero para eso tendrás que profundizar un poco más.

Sigamos con los formularios 1 en$M$por simplicidad. Si ya está convencido de la importancia de los campos vectoriales en$M$, Tengo buenas noticias para ti. Los campos vectoriales y las formas 1 son objetos duales en un sentido adecuado, pero hay una buena razón para trabajar con formas 1 en lugar de campos vectoriales. Es decir, si uno tiene un mapa suave entre variedades$N\to M$, se puede retirar una forma diferencial de$M$de regreso$N$, pero en general no se puede hacer avanzar un campo vectorial en$N$a un campo vectorial en$M$. Esto ciertamente no es toda la historia, pero tal vez sea un comienzo. Lo que esto muestra es que existe una funcionalidad adecuada para formas 1 que no existe para campos vectoriales. Es por eso que a veces es más útil trabajar con formularios 1 en lugar de campos vectoriales, aunque estos últimos son más accesibles intuitivamente.