¿Por qué no definimos números "imaginarios" para cada "imposibilidad"?

Aquí hay una diferencia clave entre los casos.

Supongamos que añadimos a los reales un elemento$i$tal que$i^2 = -1$y luego incluya todo lo demás que pueda obtener de$i$aplicando la suma y la multiplicación, conservando al mismo tiempo las reglas habituales de la suma y la multiplicación. Expandir los reales a los números complejos de esta manera no nos permite probar nuevas ecuaciones entre los reales originales que son inconsistentes con las ecuaciones previamente establecidas.

Supongamos, por el contrario, que añadimos a los reales un nuevo elemento$k$postulado como tal que$k + 1 = k$y luego también agregue cada elemento adicional que pueda obtener aplicando la suma y la multiplicación a los reales y este nuevo elemento$k$. Entonces tenemos, por ejemplo,$k + 1 + 1 = k + 1$. Por lo tanto, suponiendo que los elementos antiguos y nuevos juntos todavía obedezcan las reglas habituales de la aritmética , podemos restar alegremente$k$de cada lado para "probar"$2 = 1$. ¡Uy! Adición del elemento postulado$k$nos permite probar nuevas ecuaciones totalmente inconsistentes con lo que ya sabemos. ¡Muy malas noticias!

Ahora, de hecho podemos agregar un elemento como$k$consistentemente si estamos dispuestos a alterar las reglas usuales de la suma . Es decir, si no solo agregamos nuevos elementos, sino que también cambiamos las reglas de la aritmética al mismo tiempo, podemos estar seguros. Esto es, por ejemplo, exactamente lo que sucede cuando aumentamos los ordinales finitos con ordinales infinitos. Obtenemos una teoría consistente a costa, por ejemplo, de tener casos como$\omega + 1 \neq 1 + \omega$y$1 + 1 + \omega = 1 + \omega$.

En aritmética ordinal tenemos$1+\omega=\omega$. Hay una desventaja algebraica: resulta que$\omega+1\ne \omega$.

La respuesta corta es que puede agregar cualquier solución inventada a cualquier ecuación que desee y extender cualquier sistema numérico (o cualquier sistema) que tenga a uno más grande.

La respuesta un poco más larga es que, en matemáticas, por lo general se hace una extensión con algún objetivo en mente. Particularmente para los números imaginarios que mencionaste, la raíz cuadrada de$-1$se contempló porque simplificaba la manipulación de polinomios al buscar sus raíces.

Los irracionales se suman a los números racionales ya que los racionales no son suficientes para medir distancias (es decir, la hipotenusa de un triángulo con lados iguales a$1$es$\sqrt2$).

Los infinitesimales se agregan a los números reales para hacer argumentos heurísticos rigurosos usando tales entidades.

Los números naturales infinitamente grandes se suman a los números naturales ordinarios para construir ciertos modelos que muestren la independencia de ciertos axiomas de otros.

Los conjuntos infinitos se suman a los conjuntos finitos más dóciles ya que es conveniente poder hablar de colecciones infinitas de, digamos, números.

Hace 100-150 años 'función' asumió un significado muy estrecho (no bien definido) básicamente lo que hoy llamaríamos: una función que es analítica en todas partes excepto posiblemente en puntos aislados. Incluso hubo intentos de demostrar que toda función continua debe ser diferenciable en casi todos los puntos. Gradualmente, las bestias más exóticas, funciones que son continuas pero en ninguna parte diferenciables, entraron en escena. Extendiendo así el estudio de las funciones de la clase estrecha de las diferenciables en casi todas partes a la clase de las continuas. Esto fue requerido nuevamente por las aplicaciones ya que tales funciones ocurren como límites uniformes de funciones analíticas.

Hay muchos más ejemplos de este tipo en los que se realiza alguna extensión impulsada por algunas aplicaciones o por la necesidad de comprender mejor la axiomática de algún sistema.

Agregar una solución "imaginaria" a una ecuación "imposible" anterior siempre rompe las reglas existentes (por definición, porque una de las reglas existentes era que la ecuación imposible era imposible). La pregunta es si la ganancia de la nueva solución vale la pena la pérdida. En el caso de extender reales a números complejos, se pierde la propiedad de ordenación habitual (una propiedad de ordenación).$\le$que es compatible con$+$y$\cdot$debe tener todos los cuadrados no negativos), pero la ganancia resultante es enorme porque puede resolver tantas ecuaciones que antes no podía.

En tu ejemplo de pasar de números no negativos a todos los números, renuncias a la propiedad$x \le y$implica$ax \le ay$, pero es bastante fácil arreglarlo un poco, es decir, agregar la condición de que$a \ge 0$(y quizás decir que la desigualdad se invierte si$a < 0$). Esto también es un pequeño cambio.

Si agrega una solución a$x=x+1$, entonces, como otros han mencionado, o tienes que rendirte$0 \ne 1$o renunciar a la resta. El primero prácticamente haría que el nuevo sistema fuera inútil. El segundo puede ser útil en determinadas circunstancias. Por ejemplo (como se hace en la teoría de la medida, entre otros lugares), puedes introducir un símbolo$\infty$que satisface$\infty=\infty+1$. También puede definir sumas que impliquen$\infty$, y la mayoría de las multiplicaciones, e incluso la mayoría de las restas. Surge un problema cuando se trata de definir la diferencia$\infty - \infty$, o el producto$\infty \cdot 0$, por lo que los deja sin definir. Has renunciado a la capacidad de siempre restar o multiplicar, pero en algunos contextos eso está bien. Solo tienes que recordar esas restricciones cuando trabajas en esos contextos.

Si puede usar conjuntos para definir una estructura que tiene algunas propiedades (como$\exists x[x=x+1]$, por supuesto uno tiene que saber qué$1$es.), entonces hemos terminado. Las Construcciones Formales mediante conjuntos es lo que se utiliza para formar los números naturales, enteros, racionales, reales,….

Esta parte usa álgebra abstracta:

El anillo$R[x]/\langle x^2+1\rangle$tiene soluciones a la ecuacion$x^2+1=0$. (Dónde$1$es la identidad multiplicativa de$R[x]/\langle x^2+1\rangle$)

De manera similar, el anillo$R[x]/\langle1\rangle$tiene soluciones a la ecuacion$x+1=x$.

Este es el anillo trivial. Sin embargo, el anillo trivial no es realmente interesante.

A su edición:

Así que no estoy convencido de que "Eso rompería alguna verdad obvia sobre todos los números" sea necesariamente un argumento en contra de este tipo de cosas.

Tienes razón, por supuesto. Algunas verdades obvias simplemente necesitan ser torcidas o rotas para que las matemáticas sean útiles: si insistiéramos en que todas las reglas que aprendimos en la escuela primaria se mantuvieran para todos los conceptos que encontramos en matemáticas más avanzadas, nunca encontraríamos nuevos avances. Y de la misma manera,$i^2 = -1$rompe la 'verdad obvia' de que todos los números tienen un cuadrado no negativo. Por lo tanto, no tenemos miedo de hacerlo: tanto las matemáticas como la física habrían sido un gran obstáculo para tener miedo de$i$solo porque era un poco desconocido.

Sin embargo, las personas que le están diciendo que un nuevo número$x$con la propiedad que$x=x+1$rompería las reglas también tiene razón. La introducción de este nuevo número, con algunas excepciones, es una ruptura gratuita de las reglas. Es decir, tiene poco sentido detrás de esto: no está motivado por una pregunta u observación matemática (en el sentido de 'investigación matemática'), arruina la aritmética y no parece tener mucho beneficio. Pero no confíe en mi palabra: dedique unos minutos (unas horas, unos años) a jugar con el concepto. La cuestión es que, si lo hace, pronto se dará cuenta de una de dos cosas:

1. Se te ocurre un sistema como la aritmética ordinal (¡búscalo!), un sistema de números muy interesante con nociones bien definidas de$+$y$\times$, en el que hay un número$\omega$con la propiedad que$\omega = 1+\omega$. Desafortunadamente, es muy poco probable que encuentres ordinales acercándolos desde este ángulo: después de todo, los ordinales son cosas extrañas que solo se mencionan en áreas de estudio muy específicas (¡y bastante esotéricas, si se me permite decirlo!). . De todos modos, aquí hay algunas razones por las que los ordinales son probablemente demasiado extraños para encontrarlos desde este ángulo: en la aritmética ordinal,$+$y$\times$no son conmutativos (búsquelo), para empezar, y$-$y$\div$no existen Y tendrías que deshacerte de los números negativos y agregar un montón de infinitos allí también. ¡Más que simplemente introducir un número, tienes que romper casi todas las reglas de la aritmética para comenzar a hablar de estas cosas! O incluso...

2. Se te ocurre un sistema extraño y útil que nadie ha descubierto antes. Excepto que nadie lo ha descubierto antes, por lo que probablemente sea aún más difícil de encontrar y más extraño que los ordinales. Vale, mucho más probable...

3. Lo que se te ocurre es feo e inútil. No es una coincidencia que los ordinales se vean tan diferentes a la aritmética ordinaria: si tratas de retener demasiadas propiedades de la aritmética ordinaria pero agregas tu nuevo número, simplemente colapsará sobre sí mismo. Tomemos un ejemplo. Suponer$x = x+1$, y su sistema de aritmética me permite restar$x$. Entonces de repente$0 = 1$, y podemos multiplicar ambos lados de esa ecuación por$a$para conseguir eso$0 = a$, para cualquier número$a$. e incluso$0 = x$. Entonces todo es igual a cero, y la ecuación "$x = x+1$"simplemente dice"$0 = 0+0$". ¡Ups!

El problema con preguntas como esta es que invariablemente no son direcciones fructíferas a seguir. Eso no quiere decir que eventualmente no tendrán respuestas interesantes y útiles, sino que el proceso de responderlas probablemente vendrá indirectamente, generalmente tratando de responder una pregunta diferente, mucho más específica , motivada matemáticamente.

Es porque te verías obligado a romper otras reglas. Decir$\frac 10=j$. Entonces

De hecho, primero resuelve la división fraccionaria y obtienes

Puedes probar, una vez que hayas introducido este número, que todos los números son iguales. Entonces, sin darte cuenta, colapsaste toda la recta numérica, en cierto sentido. La diferencia entre$0$y$1$en este sistema es igual a la diferencia entre$4$y la romana IV: una de notación, no de valor. Todos los "números" son realmente la misma cantidad (es decir, iguales), y esta cantidad se suma, resta y multiplica para ser ella misma (este es el anillo trivial). Todo es consistente cuando se mira de esta manera, pero también es muy aburrido. Si quieres agregar$\frac 10$y no te encuentres con esta situación aburrida, entonces tienes que eliminar/cambiar suficientes reglas algebraicas para eliminar tu capacidad de probar$0=1$. Esto sucede en, digamos, la teoría de la rueda .

Por otra parte, introducir$i^2=-1$no plantea tal problema. De hecho, podemos mantener esencialmente todo sobre los números reales que sabíamos previamente. Así que esta adición no destruye la estructura, la crea. La idea es esta: digamos que quieres extender los números reales. Luego definiendo el nuevo sistema:

es una declaración perfectamente consistente para hacer.

con$j$como se definió anteriormente, no lo hace. Son ideas contradictorias. Puede declarar cualquier tipo de números que desee, siempre que tenga reglas consistentes. Y si quieres que esos números extiendan los números reales sin modificarlos seriamente, ese requisito de "tener un comportamiento consistente con lo que sabemos sobre$\mathbb{R}$" pone restricciones a los tipos de extensiones que puede definir.

La razón por la que los números complejos son tan especiales es que son el final de una cadena de preguntas de la forma "¿Cómo podemos resolver esta ecuación?" o "¿Cuáles son las raíces de esta ecuación?".

Empezamos con los enteros positivos.

Obtenemos los racionales positivos preguntando "¿Cómo podemos resolver$a*x = b$para$x$($a \ne 0$)?"

De los racionales positivos, obtenemos todos los racionales preguntando "¿Cómo podemos resolver$a+x=b$para$x$?"

De los racionales obtenemos los números algebraicos preguntando "¿Cómo podemos resolver$\sum a_i x^i = 0$por x?"

Obtenemos los reales de los racionales (una de varias maneras) preguntando "¿Qué es$\lim_{n \to \infty} a_n$?"

Obtenemos los números complejos de los reales preguntando "¿Cuáles son las raíces de$\sum a_i x^i = 0$?"

Pero aquí se detiene. Todas las raíces de$\sum a_i x^i = 0$, donde el$a_i$son complejos son complejos - no es necesario introducir nuevos tipos de números.

Para los detalles de esto, recomiendo "Fundamentos de análisis" de Landau.

Los números complejos fueron una excelente y muy útil abstracción. Es porque la exploración de ellos arrojó resultados matemáticos significativos y productivos.

Es la utilidad de una abstracción lo que importa.

$x=x+1$definirá el anillo trivial como otras personas han discutido.

Sin embargo, también define un grupo abeliano (conmutativo) sobre el conjunto$[0, 1)$con el operador$+$. Los elementos de este grupo son las clases de equivalencia de números reales con la misma parte fraccionaria.

Por ejemplo,$3/4+1/3=13/12=1+1/12=1/12$        ($=2+1/12 = 3+1/12...$)

El inverso en este grupo es$x^{-1}=1-x$El elemento de identidad es$0$

Hay un problema con eso: no todas las imposibilidades se comportan tan bien como los números imaginarios.$i \cdot i$siempre dará como resultado un buen y sólido -1 sin importar cómo obtuviste los dos$i$. Mientras tanto,${\infty \over \infty}$puede resultar bastante maldito todo dependiendo de cómo obtuviste estos dos infinitos.

Otro factor que aún no se ha mencionado es que, en las ciencias físicas, muchos sistemas del mundo real se comportan de maneras que se describen bellamente mediante números complejos. Por ejemplo, la ley de Ohm dicta que cierta resistencia R a través de la cual fluye la corriente I hará caer el voltaje E=IR. Aunque la ley se escribió para funcionar solo con resistencias de CC, también puede describir el comportamiento de cualquier red fija de resistencias, capacitores e inductores, a cualquier frecuencia fija; todo lo que se necesita hacer es definir la impedancia de capacitores e inductores como números imaginarios (de un signo para capacitores y otro signo para inductores), y definir voltajes y corrientes reales como si estuvieran en fase con una frecuencia de referencia, y los imaginarios como si estuviera 90 grados fuera de fase. Cuando las cosas se definen de esa manera,

Dudo que las primeras personas que inventaron y trabajaron con números complejos supieran que serían tan útiles en las ciencias físicas, pero resulta que el análisis de muchas cosas del mundo real se facilita enormemente con el uso de números complejos, a pesar de la nombre "imaginario".

Tanta discusión...

De hecho, es muy fácil construir una configuración donde x = x + 1 al convertirlos en ángulos, postulando que su "1" es de 360 ​​​​grados y solo considerando el módulo 360 de cada número :)

Me gusta la respuesta anterior de marty cohen, pero la extenderé un poco. Al principio solo existían los números naturales de contar

1,2,3,4,...

Pero entonces no pudimos resolver ecuaciones como$x+4=4$así que el concepto de cero fue captado y adoptado lentamente. Nota al margen rápida, el concepto de cero no era trivial en absoluto y en Europa ni siquiera fue completamente aceptado hasta después de la Edad Media. De todos modos, después de sumar cero, nuestro sistema numérico es

0,1,2,3,4...

Pero entonces no pudimos resolver ecuaciones como$x+4=2$por lo que se suman enteros negativos y ahora nuestro sistema numérico es

...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...

Pero entonces no pudimos resolver ecuaciones como$3x=1$entonces se suman los números racionales, así que ahora tenemos todos los números que se pueden escribir como una razón de dos enteros sin que el denominador sea cero. Pero entonces no pudimos resolver ecuaciones como$x^2=2$y$\cos(x)=0$entonces sumamos todos los irracionales. Este paso se puede dividir en números algebraicos y trascendentales, pero solo incluyo ambos en un solo paso. Ahora tenemos todos los números reales, pero ahora no podemos resolver ecuaciones como$x^2=-1$entonces la unidad imaginaria$i$se suma a los números reales conservando todas las operaciones antiguas como suma, resta, multiplicación, división, etc. Y con solo agregar un solo número$i$a la recta real nos da todo el plano complejo.

Aquí no estoy de acuerdo en que este sea el "final". Este no es el final y todavía hay muchas ecuaciones "imposibles" y dependiendo de lo que quieras resolver, cómo "quieres" que "se vea" la solución, y si la extensión será útil y consistente con el "sistema numérico " que hemos tenido en el pasado, puede agregar más soluciones y seguir expandiéndose. Un ejemplo que puedo darte es que, incluso con números complejos, no podemos resolver una ecuación como$xy-yx=1$así que ahora tenemos cuaterniones (las matrices son otro sistema numérico donde las ecuaciones "imposibles" como$AB\neq BA$pero los cuaterniones son una extensión directa de los números complejos). El artículo en wikipedia sobre cuaterniones está muy bien escrito y le insto a que lea al menos la parte de la historia que explica cómo Hamilton reflexionó sobre el problema de expandir el plano complejo y definir la multiplicación y la división para que se mantuviera consistente con lo que nosotros tiene en el plano complejo.

Y por cierto, en caso de que estés interesado, después de los cuaterniones también tenemos octoniones.

Entonces, para responder a su pregunta, sí, podemos definir números imaginarios para todas las ecuaciones "imposibles", pero el truco es tratar de expandir el sistema numérico "antiguo", luego expandirlo de tal manera que sea consistente con lo que tenemos en el sistema numérico "antiguo", y luego hacer que la expansión sea útil de alguna manera.

Hay dos formas en que la modificación de un sistema puede "romper una regla sobre todos los números": puede romperlos en el sistema original, o solo en una extensión.

1. Supongamos que tenemos los números naturales con suma, multiplicación y ordenamiento. Si añadimos una solución a la ecuación$x=x+1$entonces, si todavía queremos que la resta funcione,$0=1$. Desde$0$y$1$son números naturales, esto rompe la regla sobre los números naturales que dice que$0\ne 1$. Si queremos que la multiplicación también se comporte como antes, obtenemos que$x=1\cdot x=0\cdot x=0$para todos los números (naturales)$x$lo que significa que en lugar de extender el sistema, lo hemos colapsado en un cero. Así que hemos roto casi todas las reglas del sistema original.

2. Pero, ¿y si en su lugar sumamos números negativos? Dijiste que la regla "$x\le y\implies ax\le ay$para todos$a,x,y$" se rompe. Y formulado así, lo hace, pero si lo piensas más de cerca, la declaración original no se refería a todos los números sino a todos los números naturales . Y en esta forma todavía se mantiene. De hecho, si solo hablas de números naturales números en el nuevo sistema, ninguna regla ha cambiado Algo similar sucede cuando agrega una solución a$x^2=-1$en los reales. En estos casos solo "rompemos las reglas" en la parte extendida del sistema.

Ya tenemos tal símbolo para x = x + 1 ~ el símbolo de infinito

$x = x + 1$significa que$1=0$, como han señalado otros. Puedes hacer esto, pero no obtienes nada interesante. Lo que obtienes se llama el anillo trivial , y solo contiene un elemento,$0$(o$1$, ya que son la misma cosa). Eso es porque$x = 1x = 0x = 0$para cualquier$x$.

Como otros han señalado también, se puede definir$\frac{1}{0} = \infty$. En realidad, esto es bastante útil como formalidad si se trata de infinitos, pero debe tener cuidado, porque no hay una forma consistente de definir cosas como$\frac{0}{0}$,$\frac{\infty}{\infty}$o$\infty - \infty$. Esto se llama números reales extendidos o números complejos extendidos, dependiendo de qué otros tipos de números permita.

El tema común aquí es que definimos las cosas porque son útiles. Nosotros "inventamos"$i = \sqrt{-1}$porque esta formalidad nos da algunas cosas útiles. En particular, cualquier número complejo distinto de cero$a + bi$tiene un inverso multiplicativo cuando se define de esta manera, por lo que da un campo . Y en este campo suceden propiedades muy bonitas, por ejemplo, cualquier polinomio tiene una raíz, por lo que ya no tenemos ecuaciones como$x^2 + 1 = 0$que no tienen soluciones.

Entonces, lo que hacemos es primero afirmar que existe algún objeto al satisfacer alguna ecuación (como$x^2 + 1 = 0$o$x = 1/0$o$x = x + 1$), y luego vemos lo que eso implica dadas las otras operaciones que aún queremos mantener, y qué tipo de cosas pueden estar bien definidas y cuáles no. Para$x^2 + 1 = 0$(es decir,$i$), obtenemos algo muy bonito, un campo. Para$x = 1/0$, obtenemos algo útil, pero no tan bueno (no todas las operaciones se pueden definir de manera consistente en$\infty$, para que no sea un campo). Para$x = x + 1$, obtenemos un campo, pero es tan simple que no tiene absolutamente ningún uso, excepto como un campo que existe en aras de la completitud.

Si tu haces$x + 1 = x$y todavía quieres que se mantengan los axiomas del anillo, terminas con el anillo (muy poco interesante)$\mathbb{Z}/1 \mathbb{Z}$(al igual que postular$x + 3 = x$da$\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}$).

El problema aquí es que ignoras el contexto de x en dos estados y el hecho de que no se puede generalizar en los tripletes de números o cuádruples, etc., que tiene una buena historia.

$x\in R$

cuando uno dice$x^2 = -1$no tiene solución, trunca el resto del enunciado del problema y supone que sabemos qué es x y qué hace la operación$x^2$hacer.

La respuesta corta es cuando$x$es un vector de valor real unidimensional no es posible, no lo fue y no lo será. Pero si cambiamos la definición de x para que sea un vector bidimensional de valores reales, con otro tipo de producto es posible.

$x\in R^2$

Ampliamos la definición de$x$a un conjunto más grande y un producto más general para llegar$x*x = -1$.
Pero con la definición anterior, todavía no es posible. algunos detalles siguen.

$x \in R^3$

No se puede hacer, Hamilton trabajó en el problema extendiendo la definición de suma común y producto a los tripletes de números reales durante años, su hijo le preguntaba todos los días: "¿Encontraste una solución para dividir los tripletes?" y él respondía "No". Una respuesta "cercana" encontrada a esa pregunta para cuádruples de números Reales, que hoy se llaman "Cuaterniones".

Extensión de Suma Común y Producto

Lo que queremos decir con eso es que debería formar una construcción algebriaca llamada Campo 1 , esa es la palabra mágica que "haría que funcione", si un conjunto con operaciones no forma un Campo.

El resultado

$R$y$C$ambos son ejemplos de campos.

no puede haber otro$n$tal que$R^n$crea un campo cuando$n\ne 1$y$n\ne 2$.

Este resultado se encontró después de que Hamilton encontró una forma de dividir cuádruples que se asemeja a un campo, básicamente hubo un frenesí entre los matemáticos por encontrar otras dimensiones que "funcionaran", pero el cuádruple en sí no forma un campo ya que según la definición de Hamilton dos cuaterniones$AB=-BA$que difiere del caso Real o Complejo donde$AB=BA$y se requiere para formar un campo.

El resultado se descubrió después de que muchos matemáticos intentaran encontrar campos con diferentes dimensiones de$R$, luego la gente trató de probar resultados generales sobre diferentes dimensiones de$R$, que a su vez dio paso al resultado declarado de que no hay ninguno.

Lo que pides realmente depende del alcance de la posibilidad según ciertas suposiciones. De hecho, sacar la raíz cuadrada de -1 no es imposible si el anillo de polinomios con coeficientes del campo fundamental en consideración contiene un polinomio con raíces ±√(-1), por ejemplo, el polinomio x^2+1 está en dicho anillo. Si este no es el caso, siempre podemos extender nuestro campo para que contenga este nuevo elemento. En particular, si extendemos el campo de los reales agregando ±√(-1), entonces obtenemos los números complejos. El teorema fundamental del álgebra establece que los números complejos son algebraicamente cerrados, lo que significa que todas las ecuaciones algebraicas tienen soluciones en el campo de extensión (que ahora son los números complejos). El punto es que desde el punto de vista de los reales, √(-1) es un elemento nuevo y no la solución de alguna "ecuación imposible". De manera similar, existen cosas tales como extensiones trascendentales. Cabe señalar que el primero de sus ejemplos no es una ecuación de este tipo, ya que a menos que se realice la aritmética módulo 1, o estemos usando aritmética ordinal o algún otro esquema aritmético no estándar similar, es un absurdo. El segundo es, por supuesto, un elemento infinito, y hay diferentes magnitudes de infinito.

Hay algunos problemas para responder a su pregunta en general. En primer lugar, es posible que necesitemos que conozcamos una ecuación sin solución en la estructura ambiental, pero si solo elegimos ecuaciones aleatorias, es posible que la estructura extendida no tenga un buen comportamiento y que no sea lo suficientemente descriptiva para dar resultados reales. intuición sobre cualquier propiedad nueva. El mejor enfoque es, por supuesto, determinar primero las propiedades deseadas que nos gustaría que tuviera la estructura extendida y que la estructura base no tiene, y en este caso, luego tenemos que encontrar los nuevos elementos que dan lugar a esta estructura deseada. En general, es posible que no sean construibles o que ni siquiera existan. Este segundo enfoque se denomina noción forzada. La idea es que queremos expandir mínimamente la estructura actual para permitir una propiedad deseada, manteniendo una relativa consistencia con la estructura del suelo. ESTA era la racionalidad detrás de la definición del número imaginario i=√(-1). La propiedad deseada era el cierre algebraico.

i no debe definirse como una solución a x^2=-1 (es decir, como una forma artificial de encontrar una "solución" a una ecuación "imposible" previamente considerada. Los números complejos se definen como pares de orden (a,b) de números reales números. Usted define reglas aritméticas (+,x,-,/) para dichos pares ordenados que se pueden hacer de una manera que hace que (a,0) sea equivalente al número real ordinario a. Los números complejos (0,b) serán encontrado para satisfacer (0, b) ^ 2 = (-b ^ 2, 0). Voila, hemos encontrado un cierto tipo de números (0, b) también llamados números "imaginarios" que, cuando se elevan al cuadrado, dan un número complejo ( -b ^ 2, 0) equivalente al número real negativo -b ^ 2. No se puede hacer una construcción similar de un nuevo tipo de número x que satisfaga x = x + 1 con la preservación de las reglas aritméticas establecidas.

En lugar de contentarnos con tener solo 1 número con un cuadrado igual a -1, tenemos 3 números diferentes. Entonces podemos construir los cuaterniones donde$k^2 = j^2 = i^2 = -1$. ¿Y por qué no tener 7 números diferentes? Entonces podríamos construir los octiniones y, por supuesto, se pueden construir de manera similar incluso más complicados.

También podemos definir muchas operaciones diferentes en nuestros números. Estamos acostumbrados a tener sumas y multiplicaciones. Este suele ser el caso de un campo algebraico . Pero algunos tipos de números tienen solo una operación y algunos pueden tener muchas operaciones definidas en ellos.

Además, en lugar de definir operaciones con números a la izquierda o a la derecha de una línea, podríamos definir operaciones en una cuadrícula. Cada operación tiene no solo dos elementos en un orden particular sino un conjunto completo de vecinos como entrada.

Estaba hojeando las publicaciones sobre Matemáticas en r/askscience y me encontré con la misma pregunta .

Reproduzco el comentario de GOD_Over_Djinn , ya que me ayuda más que el más votado por wazoheat .

vamos de tu$1/m = 0$identidad. Sumando 1/m a ambos lados, tenemos 1/m + 1/m = 1/m. Ahora, multiplicando ambos lados por$m$, tenemos 1 + 1 = 1. Así que puedes ver cómo un sistema de este tipo produce resultados inconsistentes con bastante rapidez.

Para profundizar un poco más en dónde radica el problema, recuerda la definición de división:$k = a/b$si k es el único número tal que$kb = a$. Entonces, al establecer b en 0, obtenemos que sea lo que sea a/0, es la única solución para$0 \times k = a$. Ahora hay dos posibilidades: a=0 o a≠0. Si a≠0 entonces no puede haber k que satisfaga esta ecuación; es fácil demostrar que en cualquier sistema numérico sensato , 0*cualquier cosa=0. Por otro lado, si a=0, entonces cada k resuelve esta ecuación. De cualquier manera, al definir un número a/0, está afirmando que existe una solución única para$0 \times k = a$, lo cual es imposible. Asignar un número para que sea igual a a/0 es inherentemente contradictorio por la definición de división.

Como comentario sobre la diferencia de su idea y la definición$i = \sqrt{-1}$, es un poco diferente. Las propiedades fundamentales de los sistemas numéricos ¹ implican que la ecuación$0 \times k = 0$se cumple para cualquier k en cualquier sistema numérico. Pero resulta (y nos tomó un tiempo estar seguros de esto) que no excluyen una solución para$x^2 = -1$. En los números reales no hay solución para esa ecuación, pero resulta que introducir una solución es completamente consistente con todas las reglas sobre lo que llamamos sistemas numéricos. No hay nada en la definición de elevar al cuadrado que obligue a que un número elevado al cuadrado sea positivo, mientras que es la misma definición de división la que impide la división por 0.

1. Cuando hablo de "sistemas numéricos", me refiero a anillos.