¿Hay conceptos en el análisis no estándar que son útiles para que los conozca un estudiante de introducción al cálculo?

Ed Nelson había demostrado en su libro Teoría de la probabilidad radicalmente elementalque una buena parte de la probabilidad puede aclararse a los estudiantes de primer año sin apelar a la teoría de la medida utilizando el enfoque de frecuencia de Mises. Hay otras ganancias para varios cursos. Pero, sobre todo, el análisis no estándar permite a los estudiantes comprender mejor los triunfos y las tragedias en el camino de las matemáticas. Nuestros antepasados ​​Wallis, Gregory, Barrow, Newton, Leibniz, Euler, Cauchy y muchos otros fueron genios y tratar de comprender sus formas de pensar es mucho mejor que acusar con arrogancia a los grandes maestros de ser pensadores de segunda categoría en cualquier estilo similar a el de Kline, por ejemplo: "El efecto neto de los esfuerzos del siglo por endurecer el cálculo, particularmente los de gigantes como Euler y Lagrange, fue confundir y engañar a sus contemporáneos y sucesores. Eran, en general,

Un concepto útil es la distinción leibniziana entre número asignable e inasignable (según el historiador Eberhard Knobloch, la distinción se origina con Cusanus ; la distinción de Galileo entre quanta y no quanta también se remonta a Cusanus). En el marco de Robinson, esto se implementa en términos de una distinción entre un número estándar y uno no estándar. Por lo tanto, los números reales ordinarios son estándar, mientras que los infinitesimales y los números infinitos no son estándar. La suma$\pi+\epsilon$dónde$\epsilon$es infinitesimal también es no estándar. Los dos dominios están relacionados por la función de parte estándar, también conocida como la sombra . Esto se define para cualquier hiperreal finito. La parte estándar redondea cada hiperreal finito a su número real más cercano.

Para ilustrar cómo esto es útil en cálculo, tenga en cuenta que la derivada de$y=f(x)$se puede calcular como la sombra de$\frac{\Delta y}{\Delta x}$dónde$\Delta x$es un infinitesimal$x$-incrementar y$\Delta y$el cambio correspondiente en$y$.

Respuesta de opinión corta.

Creo que el hecho de que se pueda hacer riguroso el uso de los infinitesimales es la contribución más importante del análisis no estándar al nivel del cálculo elemental. Eso debería liberar a los estudiantes e instructores para trabajar con confianza con la intuición que brindan los infinitesimales. No creo que sea útil ni necesario trabajar con análisis formal no estándar, como tampoco lo es proporcionar una definición de los reales suficiente para trabajar rigurosamente con análisis ordinario.