Preguntas matemáticas abiertas para las que realmente no tenemos idea de cuál es la respuesta

En 4 dimensiones, es una pregunta abierta si hay estructuras suaves exóticas en las 4 esferas.

Un ejemplo más o menos elemental que me gusta mucho es la conjetura de Erdős sobre las progresiones aritméticas , que afirma lo siguiente:

Si para algún conjunto$S\subseteq \mathbb{N}$la suma

$$\sum_{s\in S}\frac{1}s$$ diverge, entonces $S$contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Nunca he visto un argumento heurístico de una forma u otra; creo que el resultado conocido más fuerte, a partir de ahora, es el teorema de Szemerédi , que, más o menos, establece que si la densidad asintótica más baja de$S$es positivo (es decir, hay un número infinito de$n$tal que$|[1,n]\cap S|>n\varepsilon$), entonces contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. También está el teorema de Green-Tao , que es un caso especial de la conjetura, dado que los números primos tienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas (y, de hecho, también establece el hecho para una clase más grande de conjuntos).

Sin embargo, ninguno de estos sugiere que el resultado se mantenga en general. Es tentador creer que es cierto, porque sería un teorema tan hermoso, pero no hay mucho que lo respalde; en realidad no está claro por qué la suma de los recíprocos divergentes tendría algo que ver con las progresiones aritméticas. Aún así, no hay ejemplos obvios de dónde falla, por lo que tampoco es difícil argumentar en su contra.

Creo que si el grupo de Thompson $F$es susceptible es tal pregunta. El paper/artículo " WHAT is... Thompson's Group " menciona que en una conferencia dedicada al grupo hubo una encuesta en la que 12 dijeron que sí y 12 dijeron que no. De hecho, hay documentos que afirman (al menos en ese momento) tener pruebas para ambos lados. Aquí hay algunas publicaciones para tener una idea de la "controversia": 1 , 2 , 3 .

El décimo problema de Hilbert terminado$\mathbb{Q}$/Conjetura de Mazur. Estos son dos problemas abiertos que apuntan en direcciones opuestas, y creo que los expertos realmente no están seguros de qué manera adivinar.

El décimo problema de Hilbert terminado$\mathbb{Q}$¿Existe algún algoritmo que, dada una colección de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales, tengan una solución racional?

El problema está abierto. Aquí hay heurísticas en cada sentido. Por "no".

• Las ecuaciones diofánticas individuales son realmente difíciles. Piense en cuántos matemáticos trabajaron para probar$x^n+y^n=1$no tiene más soluciones que$(0,1)$y$(1,0)$para varios valores de$n$. ¿Es realmente plausible que todo su trabajo pueda reducirse a ejecutar un algoritmo?

• No existe tal algoritmo$\mathbb{Z}$. ( Matiyasevich-Robinson-Davis-Putnam )

Para "sí":

• Existen poderosos teoremas y conjeturas acerca de las ecuaciones diofánticas que tienen un número finito de soluciones. Por ejemplo, la conjetura de Mordell (ahora el teorema de Falting ) nos dice inmediatamente que hay un número finito de puntos racionales en$x^n+y^n=1$para cualquier dado$n$. Si se probara la conjetura de Bombieri-Lang , que no parece imposible, tendríamos herramientas mucho más potentes. Y aunque finito no es lo mismo que cero, hemos desarrollado muchas herramientas para encontrar esas soluciones finitas en muchos casos. Vea las notas del curso de Bjorn Poonen para una encuesta.

Pero aquí está lo realmente frustrante. Suponga que cree que la respuesta es "no". Entonces probablemente quiera probar que puede codificar el problema de detención como una pregunta sobre ecuaciones diofánticas (así fue como se probó MDRP), o bien codificar la resolución de ecuaciones diofánticas sobre$\mathbb{Z}$en resolver ecuaciones diofánticas sobre$\mathbb{Q}$. Para hacer esto, presumiblemente escribirías alguna ecuación diofántica cuyas soluciones se parecieran a los estados de una máquina de Turing universal, o se parecieran a$\mathbb{Z}$. En cualquier caso, probablemente tendría infinitas soluciones, repartidas discretamente. Y así te encuentras

Conjetura de Mazur Dada cualquier colección de ecuaciones polinómicas sobre$\mathbb{Q}$en$n$-variables, vamos$X(\mathbb{Q})$sea ​​el conjunto de sus soluciones y sea$\overline{X(\mathbb{Q})}$Sea el cierre topológico de$X(\mathbb{Q})$en$\mathbb{R}^n$. Entonces$\overline{X(\mathbb{Q})}$tiene un número finito de componentes conexas.

Entonces, la dificultad general de las ecuaciones diofánticas lleva a uno a imaginar que el problema no tiene solución, pero la conjetura de Mazur bloquea la ruta más plausible para demostrar que no tiene solución. Por supuesto, uno puede imaginar que las ecuaciones diofánticas sobre$\mathbb{Q}$son irresolubles y, sin embargo, no pueden codificar una máquina de Turing. Creo que no está claro si la mayoría de los problemas irresolubles son irresolubles porque son equivalentes al problema de la detención, o si ese es (esencialmente) el único tipo de problema que sabemos cómo demostrar que es irresoluble.

En la teoría de sistemas dinámicos, los problemas que involucran ciclos límite en general son siempre muy difíciles. La segunda parte del decimosexto problema de Hilbert es mi "favorito" personal. El límite superior para el número de ciclos límite de campos vectoriales polinómicos planos de grado$n$permanece sin resolver para cualquier$n>1$. Por ejemplo, ¿pueden los campos vectoriales del plano cuadrático ($n=2$) tienen más de cuatro ciclos límite? Puede ser extremadamente complicado encontrar un sistema cuadrático con cinco ciclos límite, pero realmente no tenemos ni idea. En la década de 1950, los matemáticos afirmaron que los sistemas cuadráticos tienen un máximo de tres ciclos límite y muchos otros matemáticos lo confirmaron, pero se demostró que era incorrecto cuando se encontró un sistema cuadrático con cuatro ciclos límite. Para más detalles, puedes consultar este artículo .

Por lo que puedo decir, ni la existencia ni la inexistencia del Gráfico de Moore de grado 57 y diámetro 2 está fuertemente atestiguada. La mayor parte del trabajo hasta la fecha sobre el tema gira en torno a las diversas propiedades que un gráfico de este tipo (si existiera) debe o no debe poseer, pero ninguno de estos parece dar una indicación sólida para inclinarse hacia un lado o hacia el otro. Además, los encuestados en una encuesta en esta publicación de blog de 2009 parecen estar divididos de manera bastante uniforme.

La conjetura suave de Poincaré en la dimensión 4 ya se ha mencionado, así que mencionaré el problema suave de Schönflies en esa dimensión. La pregunta es si existe un difeomorfismo de$S^4$tomando cualquier copia incrustada sin problemas de$S^3$en$S^4$al ecuatorial estándar$S^3\subset S^4$. Esto es cierto en todas las demás dimensiones, pero$4$es una dimensión tan inusual que es difícil especular cuál es la respuesta en este caso.

Desde una perspectiva teórica de números, hay algunos problemas famosos relacionados con los rangos de las curvas elípticas, que gran parte de la investigación moderna en el área está orientada a resolver. Por ejemplo, Manjul Bhargava recibió recientemente la medalla Fields en parte por su trabajo sobre la delimitación de rangos promedio de curvas elípticas (y por demostrar que la conjetura de Birch y Swinnerton Dyer es cierta para porcentajes cada vez mayores de curvas elípticas).

Para describir algunos de los resultados: una curva elíptica sobre$\mathbb{Q}$es una curva proyectiva racional suave de género 1 con un punto racional, o en términos menos aterradores, el conjunto de soluciones a una ecuación que se parece a

Ahora, sabemos bastante acerca de$r$- por ejemplo, en el "100%" de los casos el rango es$0$o$1$(donde aquí "100%" se usa en el sentido probabilístico, sin significar que cada curva elíptica tiene rango$0$o$1$!). También está la conjetura de Birch y Swinnerton Dyer (BSD) , que es uno de los problemas muy abiertos que mencionas que nadie tiene idea de cómo probar, pero que la mayoría de la gente cree. Relaciona el rango de la curva elíptica con el orden de desaparición de sus$L$-función en 1. Quizás la heurística más fuerte para esto es que se ha probado en ciertos casos especiales, así como en el trabajo de Bhargava. Gran parte de la investigación de la teoría de números moderna se dirige hacia BSD, y es uno de los famosos problemas de Millenium.

Sin embargo, con lo que no tenemos mucha intuición es:

Pregunta: ¿Están los rangos de las curvas elípticas sobre$\mathbb{Q}$¿encerrado? Es decir, ¿hay alguna$R$tal que para cualquier curva elíptica$E/\mathbb{Q}$, tenemos$r(E) \leq R$?

Desde el año pasado, era muy abierto: había heurísticas sueltas en ambos sentidos. El rango más alto que hemos encontrado hasta ahora es una curva con un rango de al menos 28, debido a Elkies, que ha sido el poseedor del récord durante mucho tiempo. Como mencioné antes, Bhargava ha demostrado que el rango promedio está limitado por al menos 1,5, y esto fue suficiente para ganar una medalla Fields.

Sin embargo, habiendo dicho todo eso, creo que recientemente ha habido algo de entusiasmo con algunas heurísticas más fuertes que se inclinan hacia el límite del rango. No sé lo suficiente sobre estas heurísticas para comentar más, pero hay más información aquí: http://quomodocumque.wordpress.com/2014/07/20/are-ranks-bounded/

Un problema abierto fácil de entender implica el primer contraejemplo de la conjetura de la suma de potencias de Euler :

P : ¿$x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5+x_5^5=0$¿ Tiene infinitas soluciones enteras primitivas distintas de cero?

( Primitivo siendo el$x_i$no tienen factor común.) Hasta ahora solo se conocen tres y nadie ha dado un buen argumento heurístico de que la lista es finita, o si hay infinitamente muchos. Hay restricciones congruentes interesantes en el$x_i$.

Más generalmente,

P : Para impares$k>3$, hace$x_1^k+x_2^k+\dots+x_{k}^k = 0$¿ Tiene infinitas soluciones enteras primitivas distintas de cero?

No creo que nadie tenga una idea clara de si existen soluciones clásicas a la ecuación de Navier-Stokes. http://www.claymath.org/millenium-problems/navier%E2%80%93stokes-ecuación

La mayoría de los intentos se han centrado en tratar de demostrar que es cierto. Sin embargo, Leray dio una sugerencia para buscar un contraejemplo. Más tarde se demostró que su contraejemplo propuesto nunca funcionaría: J. Nečas, M. Růžička y V. Šverák, On Leray's self-similar solutions of the Navier-Stokes ecuations, Acta Mathematica, 1996, Volumen 176, Número 2, págs. 283-294. Sin embargo, el hecho de que se hayan propuesto contraejemplos sugiere que es razonable pensar que la conjetura es falsa.

Creo que una respuesta adecuada a esta pregunta son ejemplos de preguntas donde la evidencia numérica es extremadamente difícil de obtener. Entonces, por ejemplo, no sabemos nada interesante sobre la conjetura de Collatz, pero al menos sabemos que es cierta para una gran cantidad de casos.

Como ejemplo de algo que no sabemos en absoluto, considere$S_n$el grupo simétrico, y definir$s_i$ser la transposición adyacente$(i,i+1)$. Entonces para una permutación$\pi\in S_n$, definió una descomposición reducida de$\pi$ser un producto de longitud mínima de transposiciones que le da$\pi$. por ejemplo si$\pi=4321$entonces$w=s_1s_2s_1s_3s_2s_1$es una descomposición reducida de$\pi$.

Es fácil ver que la longitud mínima de la descomposición reducida es el número de inversiones en$\pi$. Por otro lado, la cuestión de cuántas descomposiciones reducidas distintas$R(\pi)$hay de$\pi$es una pregunta ridículamente complicada. Sabemos la respuesta para las permutaciones que tienen patrones particulares (falta de) como las permutaciones vexellarias, en particular la permutación inversa$(n,n-1,\cdots,1)$, que tiene$f_n$descomposiciones reducidas, donde$f_n$es el número de escaleras en forma de cuadros jóvenes de forma$(n-1,n-2,\cdots,1)$. Para cualquier otra permutación no trivial, esencialmente no se sabe nada. Para$n=7$, el número de descomposiciones reducidas para la permutación inversa excede el número de átomos en el universo conocido. Surge una dificultad similar para prácticamente cualquier permutación no trivial. Ni siquiera se puede obtener una estimación del orden de magnitud.

Hacer todas las variedades compactas y lisas de dimensión$\geq 5$admitir las métricas de Einstein ?

(Una métrica de Einstein es una métrica de Riemann con curvatura de Ricci constante).

Se puede encontrar una lista de problemas abiertos fundamentales en geometría diferencial y análisis geométrico al final de la excelente encuesta de Yau, Revisión de geometría y análisis . Fue escrito en 2000, por lo que es muy actual.

Aparte: algunos problemas que no encajan en el proyecto de ley (en que hay evidencia de una forma u otra o en que escucho las mismas conjeturas), pero que son interesantes de todos modos son:

• ¿Admite la 6-esfera una estructura integrable casi compleja?

• Conjetura de Hopf : ¿Tiene$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^2$admitir una métrica con curvatura seccional positiva?

• Conjetura de Chern : ¿Toda variedad afín compacta tiene una característica de Euler que se desvanece?

¿ Existe un grupo de torsión infinito finitamente presentado ?

Un grupo de torsión es un grupo donde cada elemento tiene un orden finito. El problema de Burnside (1902) preguntó si existe un grupo de torsión infinito generado finitamente . Este grupo de exponente ilimitado fue construido por Golod y Shafarevich en 1964, mientras que Novikov y Adian lo hicieron para exponente acotado en 1968. Ol'shanskii construyó grupos infinitos generados finitamente, todos cuyos subgrupos propios no triviales son cíclicos de orden a prima fija$p$(Grupos "monstruo Tarski"). Sin embargo, todos estos ejemplos son finitamente generados pero no finitamente presentables . La cuestión de si existe o no un ejemplo finitamente presentado sigue abierta. Aparentemente, Rips dio un posible método para construir un grupo de este tipo, pero Ol'shanskii y Sapir giraron su manija sin éxito ( referencia ).

Vale la pena mencionar que Efim Zelmanov recibió una medalla de campo por un problema relacionado, llamado problema de Burnside restringido .

La existencia de planos finitos proyectivos . Todos los ejemplos conocidos tienen potencia de orden primo. Cita:

La existencia de planos proyectivos finitos de otros órdenes es una cuestión abierta. La única restricción general conocida sobre el orden es el teorema de Bruck-Ryser-Chowla de que si el orden $N$es congruente con 1 o 2 $\text{mod}$4, debe ser la suma de dos cuadrados. esto descarta $N = 6$. el siguiente caso $N = 10$ha sido descartado por cálculos informáticos masivos. No se sabe nada más; en particular, la cuestión de si existe un plano de orden proyectivo finito $N = 12$todavía está abierto.

La primera prueba que mucha gente aprende es que hay infinitos números primos. (Si no es el primero, a menudo es el segundo después del hecho de que$\sqrt 2$es irracional).

Dirichlet consideró una generalización natural de esto, quien demostró que mientras la progresión aritmética$a, a+d, a+2d, a+3d, ...$no tiene una razón trivial para no tener muchos números primos, entonces de hecho contiene infinitos números primos. Esto se conoce como el Teorema de Dirichlet sobre los números primos en las progresiones aritméticas . Sorprendentemente, si hay infinitos números primos, entonces también se sabe que la secuencia tiene asintóticamente$1/\varphi(d)$de todos los números primos, donde$\varphi(d)$es el número de números hasta$d$que son relativamente primos para$d$. En otras palabras, toda progresión aritmética no trivial tiene exactamente el mismo porcentaje de números primos, una especie de teorema de equidistribución.

La siguiente generalización natural es considerar polinomios superiores, como los polinomios cuadráticos. (Por el momento, llame a un polinomio cuadrático si es de la forma$ax^2 + bx + c$con$a \neq 0$). ¿Es cierto el análogo? ¿Podemos predecir la distribución? De hecho, no hemos encontrado un solo polinomio cuadrático que tome infinitos números primos (ni ningún polinomio de grado > 1). Ni siquiera hemos tenido éxito demostrando que$x^2 + 1$toma infinitos números primos, ni tenemos idea de cómo.

Profundizando un poco más, es posible conjeturar densidades utilizando el método del círculo o sus variantes, incluso para polinomios de mayor grado. Pero no tenemos idea de cómo probarlos.

En resumen, es$x^2 + 1$cebar infinitamente a menudo?

Existencia de un paralelepípedo rectangular con todas las aristas, todas las diagonales de las caras y siendo la diagonal principal números enteros.

Viabilidad de reformular todas las matemáticas en solo términos ultrafinitistas bien definidos

Desde el punto de vista de la física, hay algo extraño en la forma en que se usan las matemáticas. Según el principio de Church-Turing-Deutsch, todos los procesos físicos tienen descripciones computables (cuánticas), pero la forma en que hacemos matemáticas invoca conceptos no computables como los reales incontables. Lo que sucede si usamos las matemáticas en la práctica es que la incomputabilidad de cualquier concepto permanecerá siempre oculta en las partes intermedias, nunca surgirá en los resultados finales.

Esto sugiere que no es necesario invocar conceptos no computables en primer lugar, pero hasta ahora no ha habido mucho progreso por parte de los defensores del ultrafinitismo.

El problema del comportamiento asintótico de la cardinalidad máxima de un límite se establece en$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}^r$como$r$hasta el infinito da lugar a la siguiente pregunta de sí/no que está abierta.

Un conjunto límite, aquí, es un conjunto sin tres puntos en una línea afín. Esto equivale a la existencia de$x,y,z$tal que$x+y+z = 0$, o la existencia de una progresión aritmética de 3 términos (ver una respuesta relacionada).

¿La cardinalidad máxima de un tope se establece en$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}^r$a$O((3- \delta)^{r })$para algunos$\delta > 0$?

Vea una publicación de blog de Terry Tao de hace un par de años donde expresa una opinión sobre el asunto pero también reconoce la disidencia de un buen amigo suyo.

Hay algún axioma "natural" que sumado a ZFC decide CH? Interesante discusión en Introducción a la teoría de conjuntos, tercera edición, revisada y ampliada .

La conjetura de Higman se refiere al número de clases de conjugación de$UT_n(\mathbb{F}_q)$, el grupo de matrices triangulares superiores unipotentes con entradas en un campo finito con$q$elementos. La conjetura es que para un fijo$n$el número de clases de conjugación de$UT_n(\mathbb{F}_q)$viene dada por un polinomio en$q$. Esto ha sido probado hasta$n=13$, pero más allá de eso es desconocido. La dificultad puede estar relacionada con el hecho de que$UT_n(\mathbb{F}_q)$tiene un tipo de representación salvaje. Conozco una serie de intentos fallidos de prueba, y parece que la mayoría de las personas que piensan en esta conjetura creen que es cierta. Al mismo tiempo, hay una colección de subgrupos de$UT_n(\mathbb{F}_q)$, conocidos como "grupos de patrones", para los cuales se sabe que una conjetura análoga es falsa.

Conjetura del divisor cero de Kaplansky

Dejar$K$ser un campo y$G$un grupo libre de torsión, entonces es el anillo de grupo$KG$¿un dominio?

Todas las investigaciones hasta ahora han sido afirmativas. Este problema ha sido tratado en el libro " La estructura algebraica de los anillos de grupo" de D. Passman.

Es uno de los problemas más difíciles y menos abordables en todo el campo del álgebra.

Lo último que sé es que se ha probado para grupos solubles sin torsión. Todavía queda un largo camino por recorrer.

Otra pregunta natural después de esto (si lo anterior es cierto) es, si reemplazamos$K$por cualquier dominio$D$, decir$\Bbb{Z}$

¿Cuál es la respuesta al problema en el que el número de Graham es un límite superior?

Citando a Wikipedia sobre la definición:

Conecte cada par de vértices geométricos de un hipercubo de n dimensiones para obtener un gráfico completo en 2n vértices. Colorea cada uno de los bordes de este gráfico de rojo o azul. ¿Cuál es el valor más pequeño de n para el cual cada coloración contiene al menos un subgrafo completo de un solo color en cuatro vértices coplanares?

Aquí hay algunos detalles sobre por qué es completamente desconocido:

• Graham y Rotschild demostraron que$6 \leq N \leq f(f(f(f(f(f(f(12)))))))$, dónde$f(x)=2 \uparrow^x 3$y$\uparrow$denota notación de flecha hacia arriba.

• Actualmente, el límite más conocido es:$13 \leq N < 2 \uparrow\uparrow\uparrow 6$.

• Los matemáticos pensaron que la respuesta era$6$, hasta el límite inferior de$11$fue probado. Ahora muchos no tienen idea de dónde esperar$N$.

Realmente, realmente no tenemos idea de si la conjetura jacobiana es cierta.