¿Es cierto el inverso del primer teorema de Noether: toda ley de conservación tiene una simetría?

I) Para un tratamiento matemático preciso de un teorema de Noether inverso, se debe consultar, por ejemplo, el libro de Olver (Ref. 1, Thm. 5.58), como también escribe el usuario orbifold en su respuesta (v2). Aquí nos gustaría dar una discusión heurística y menos técnica, para transmitir el meollo del asunto, y tratar de evitar el lenguaje de chorros y prolongaciones tanto como sea posible.

En términos populares, nos gustaría formular una "máquina de Noether inversa"

Dado que se supone que esta "máquina" es un teorema matemático que debe tener éxito siempre sin excepciones (¡de lo contrario, por definición no es un teorema!), es posible que tengamos que reducir el conjunto/clase/categoría de entradas que permitimos en la máquina para no tener errores de parada/averías en la maquinaria.

II) Hagamos las siguientes restricciones innecesarias por simplicidad:

1. Centrémonos en la mecánica puntual con un funcional de acción local.

   $$S[q] ~=~ \int\! dt~ L(q(t), \frac{dq(t)}{dt}, \ldots,\frac{d^Nq(t)}{dt^N} ;t), \tag{1}$$ dónde$N\in\mathbb{N}_0$es un orden finito. La generalización a la teoría clásica del campo local es directa.

2. Limitémonos a solo transformaciones verticales .$\delta q^i$, es decir, cualquier transformación horizontal$\delta t=0$desaparece (Olver esencialmente llama a estos campos vectoriales evolutivos , y menciona que es suficiente para estudiarlos (Ref. 1, Prop. 5.52).)

3. Supongamos, como también lo hace Olver, que el lagrangiano$L$y las transformaciones son analíticas reales$^{\dagger}$.

Las siguientes restricciones/extensiones técnicas son absolutamente necesarias:

1. La noción de simetría$\delta S=0$debe relajarse a cuasisimetría (QS). Por definición un QS de la acción$S$solo tiene que contener términos de límite de módulo. (NB: Olver usa una terminología diferente: llama simetría a una simetría estricta y cuasisimetría a una simetría).

2. La noción de transformaciones QS solo podría tener sentido infinitesimalmente/como un campo vectorial/álgebra de Lie. Es posible que no existan transformaciones QS finitas correspondientes/grupo de Lie. En particular, se permite que las transformaciones QS dependan de las velocidades$\dot{q}$. (Olver se refiere a esto como campos vectoriales generalizados (Ref. 1, Def. 5.1).)

III) El Teorema de Noether proporciona una receta canónica de cómo convertir un QS de la acción$S$en una ley de conservación (CL),

dónde$Q$es la carga completa de Noether. (Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad en el caparazón, es decir, módulo de las ecuaciones de movimiento (eom).)

Observación 1: Aparte del tiempo$t$, las transformaciones QS solo pueden actuar sobre las variables$q^i$que participan activamente en el principio de acción. Si hay parámetros externos pasivos, por ejemplo, constantes de acoplamiento, etc., el hecho de que sean constantes en el modelo son solo CL triviales, que obviamente no deberían contar como CL genuinas. En particular,$\frac{d1}{dt}=0$es solo un CL trivial.

Observación 2: un CL debe, por definición, ser válido para todas las soluciones, no solo para una solución en particular.

Observación 3: Un QS de la acción$S$siempre se supone implícitamente que se mantiene fuera de la cáscara. (Debe enfatizarse que un QS en el caparazón de la acción

es una noción vacía, ya que las ecuaciones de Euler-Lagrange eliminan cualquier término general en el caparazón).

Observación 4: Debe enfatizarse que una simetría de eoms no siempre conduce a un QS del Lagrangiano, cf. por ejemplo, ref. 2, Ejemplo 1 a continuación, y esta publicación de Phys.SE. Por lo tanto, es importante rastrear los aspectos fuera de la cáscara del teorema de Noether.

Ejemplo 1: Una simetría de los eoms no es necesariamente un QS del Lagrangiano. Sea el lagrangiano$L=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \dot{q}^i g_{ij} \dot{q}^j$, dónde$g_{ij}$es una métrica constante no degenerada. los oms$\ddot{q}^i\approx 0$tener un$gl(n,\mathbb{R})$simetría$\delta q^{i}=\epsilon^i{}_j~q^{i}$, pero solo un$o(n,\mathbb{R})$Subálgebra de mentira de la$gl(n,\mathbb{R})$El álgebra de mentira es un QS del Lagrangiano.

IV) Sin más suposiciones, a priori no hay garantía de que la receta de Noether convierta un QS en un CL no trivial.

Ejemplo 2: Sea el Lagrangiano$L(q)=0$sea ​​el lagrangiano trivial. La variable$q$es calibre puro. Entonces la simetría de calibre local$\delta q(t)=\epsilon(t)$es una simetría, aunque el CL correspondiente es trivial.

Ejemplo 3: Sea el Lagrangiano$L=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3(q^i)^2-q^1q^2q^3$. Los eom son$q_1\approx q_2q_3$y permutaciones cíclicas. De ello se deduce que las posiciones$q^i\in\{ 0,\pm 1\}$son constantes. (Solamente$1+1+3=5$fuera de$3^3=27$las ramas son consistentes.) Cualquier función$Q=Q(q)$es una cantidad conservada. La transformación$\delta q^i=\epsilon \dot{q}^i$es un QS de la acción$S$.

Si queremos formular una biyección entre QSs y CLs, debemos considerar clases de equivalencia de QSs y CLs módulo trivial QSs y CLs, respectivamente.

• Una transformación QS$\delta q^i$se llama trivial si desaparece en el caparazón (Ref. 1, p.292).

Un CL se llama

1. trivial de primer tipo si la corriente de Noether$Q$se desvanece en la concha.

2. trivial de segundo tipo si CL se desvanece fuera del caparazón.

3. trivial si es una combinación lineal de CL de primer y segundo tipo (Ref. 1, p.264-265).

V) La suposición más crucial es que se supone que los eoms son (totalmente) no degenerados. Olver escribe (Ref. 1, Def. 2.83.): Un sistema de ecuaciones diferenciales se llama totalmente no degenerado si él y todas sus prolongaciones son de rango máximo y localmente solucionables.$^{\ddagger}$.

El supuesto de no degeneración excluye que la acción$S$tiene una simetría de calibre local. Si$N=1$, es decir$L=L(q,\dot{q},t)$, el supuesto de no degeneración significa que la transformación de Legendre es regular, por lo que podemos construir fácilmente una formulación hamiltoniana correspondiente$H=H(q,p,t)$. El lagrangiano hamiltoniano dice

VI) Para un funcional de acción hamiltoniano$S_H[p,q] = \int\! dt~ L_H$, hay una forma canónica de definir un mapa inverso a partir de una cantidad conservada$Q=Q(q,p,t)$a una transformación de$q^i$y$p_i$mediante el uso de la carga Noether$Q$como generador hamiltoniano para las transformaciones, como también se explica en, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Aquí recordamos brevemente la prueba. El CL en el caparazón (2) implica

fuera de la cáscara, cf. Observación 2 y esta publicación de Phys.SE. La transformación correspondiente

es un QS del hamiltoniano lagrangiano

porque$\delta L_H$es una derivada del tiempo total. Aquí$Q^0$es la carga desnuda de Noether

y

De ahí la correspondiente carga completa de Noether

es precisamente la cantidad conservada$Q$con el que empezamos. Por lo tanto, el mapa inverso funciona en el caso hamiltoniano.

Ejemplo 4: La partícula libre no relativista$L_H=p\dot{q}-\frac{p^2}{2m}$tiene, por ejemplo, las dos cargas conservadas$Q_1=p$y$Q_2=q-\frac{pt}{m}$.

El Teorema de Noether inverso para sistemas no degenerados (Ref. 1, Thm. 5.58) puede entenderse intuitivamente por el hecho de que:

1. En primer lugar, existe un sistema hamiltoniano subyacente$S_H[p,q]$, donde es evidente la correspondencia biyectiva entre QS y CL.

2. En segundo lugar, al integrar los momentos$p_i$podemos argumentar que la misma correspondencia biyectiva es válida para el sistema lagrangiano original.

VII) Finalmente, la ref. 3 enumera KdV y seno-Gordon como contraejemplos de un teorema de Noether inverso. KdV y seno-Gordon son sistemas integrables con infinitas cargas conservadas$Q_n$, y uno puede introducir un número infinito de hamiltonianos conmutadores correspondientes$\hat{H}_n$y tiempos$t_n$. Según Olver, KdV y seno-Gordon no son realmente contraejemplos, sino simplemente el resultado de una falla en la distinción adecuada entre CL no trivial y trivial. Véase también Ref. 4.

Referencias:

1. PJ Olver, Aplicaciones de los grupos de mentiras a las ecuaciones diferenciales, 1993.

2. VI Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, 2ª ed., 1989, nota al pie 38 en la pág. 88.

3. H. Goldstein, Mecánica Clásica; 2ª ed., 1980, pág. 594; o 3ª ed., 2001, pág. 596.

4. LH Ryder, Quantum Field Theory, 2ª ed., 1996, pág. 395.

$^{\dagger}$Tenga en cuenta que si uno abandona la analiticidad real, digamos por$C^k$diferenciabilidad en cambio, el análisis puede volverse muy técnico y engorroso. Incluso si se trabaja con la categoría de suave$C^\infty$funciones en lugar de la categoría de funciones analíticas reales, se podría encontrar el fenómeno de Lewy , donde las ecuaciones de movimiento (eom) no tienen ninguna solución. ¡Tal situación haría que la noción de una ley de conservación (LC) fuera un poco académica! Sin embargo, incluso sin soluciones, un CL puede existir formalmente como una consecuencia formal de eoms. Finalmente, agreguemos que si uno solo está interesado en una acción particular funcional$S$(a diferencia de todos los funcionales de acción dentro de alguna clase) la mayoría de las veces, se necesita mucha menos diferenciabilidad para garantizar la regularidad.

$^{\ddagger}$ El rango máximo es crucial, mientras que la solución local puede no ser necesaria, cf. nota al pie anterior.

Si la ley de conservación es general , lo que significa que no es específica de un movimiento, sino que se conserva en una configuración general, entonces la respuesta es sí. Esto se sigue de la teoría de las transformaciones canónicas en la mecánica clásica.

Primero, considere una condición inicial simétrica perfectamente triangular de tres partículas dispuestas en un triángulo equilátero con velocidades que giran en el ángulo apropiado (120 grados, 240 grados) para dar una simetría de rotación triple. En esta condición inicial, para leyes de fuerzas triangularmente invariantes, existe una conservación de la simetría triangular, por lo que la configuración tiene la propiedad de que dada la posición del centro de masa y una de las partículas, se pueden encontrar las otras dos. Esta es la simetría discreta clásica, y no se generaliza a un movimiento arbitrario, por lo que no tiene simetría asociada.

Pero si tiene una cantidad general conservada Q(x,p) en el espacio de fase que se conserva para todas las condiciones iniciales x,p, entonces

Donde el soporte es el soporte de Poisson. De ello se deduce que el movimiento en el espacio de fase usando Q como hamitoniano

hace una transformación del espacio fase tomando x,p a x(s),p(s), y esta transformación conmuta con la evolución temporal hamiltoniana, y define una simetría en el espacio fase cuya corriente de Noether da la conservación de Q.

La misma idea funciona a la inversa, y en la mecánica cuántica, simplemente reemplaza el soporte de Poisson clásico con el conmutador y usa Q como un hamiltoniano para generar la evolución de la función de onda:

y esto te da la simetría. Lo bueno de QM es que incluso las simetrías discretas que son mecánicamente cuánticas exactas dan lugar a cantidades conservadas, de modo que la ley de la fuerza triangular conserva el operador que realiza rotaciones de 120 grados en la función de onda, y uno puede clasificar los estados estacionarios por su Z_3 cargo discreto. La diferencia clave es que cualquier estado en la mecánica cuántica puede escribirse como una superposición de estados simétricos, superponiéndolos con versiones rotadas de sí mismo con la fase apropiada.

No sé cómo probar lo siguiente, pero al menos debería responder a su pregunta de manera objetiva. Lo siguiente lo cito del libro 'Mecánica clásica' de Goldstein: "Debe señalarse que mientras el teorema de Noether demuestra que una propiedad de simetría continua o una densidad lagrangiana conduce a una condición de conservación, lo contrario no es cierto. Parece haber condiciones de conservación que no puede corresponder a una propiedad de simetría. Los ejemplos más destacados en este momento son los campos que tienen soluciones de solitón, por ejemplo, están descritos por la ecuación del seno-Gordon o la ecuación de Korteweg-deVries".

Espero que esto responda tu pregunta.

De hecho, es cierto que existe una correspondencia biunívoca entre grupos de un parámetro de simetrías variacionales generalizadas de algunas funciones y las leyes de conservación de sus ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas. Se pueden encontrar declaraciones y definiciones precisas, por ejemplo, en el capítulo 5 de Olver, "Aplicaciones de grupos de mentiras a ecuaciones diferenciales". Independientemente de la pregunta, le recomiendo ese libro, si está interesado en tales preguntas. De hecho, Noether ya expresó su teorema en esta generalidad, pero por lo general solo se discuten los aspectos triviales en los cursos de física.

Una pregunta quizás más interesante es qué conjuntos de ecuaciones diferenciales pueden ser las ecuaciones de Euler-Lagrange de algún problema variacional, ya que al menos es concebible que la descripción de algunos sistemas físicos no surja de problemas variacionales. Esto ya fue estudiado por Helmholtz y también discutido en este libro.

Irónicamente, la ecuación de Korteg-de-Vries admite un número infinito de tales simetrías generalizadas, razón por la cual es "exactamente solucionable" y para las soluciones de solitón. Entonces, la respuesta aceptada no solo es incorrecta, sino que incluso el ejemplo dado por el autor es un buen contraejemplo.

El recíproco real del primer teorema es el segundo. Su formulación del recíproco del primer teorema es demasiado literal y, por lo tanto, válida como caso particular bajo condiciones adicionales.