¿Cuál es el significado del parámetro en el teorema de Noether?

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¿Cuál es el significado del parámetro en el teorema de Noether?

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De acuerdo con la explicación del teorema de Noether en el libro QFT de Peskin & Schroeder, pp. 17-18,

Si el lagrangiano $\mathcal{L}(x)$ cambiar a

\begin{matrix} (2.10) & L (X) + α \partial_{m} j^{m} \end{matrix}

$\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu\tag{2.10}$ cuando el campo

ϕ (x)

$\phi(x)$ es cambiar a

\begin{matrix} (2.9) & ϕ^{'} (X) = ϕ (X) + α Δ ϕ (X), \end{matrix}

$\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x),\tag{2.9}$ hay una corriente

\begin{matrix} (2.12) & j^{m} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} Δ ϕ - j^{m}, \end{matrix}

$j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu,\tag{2.12}$ que se conserva.

No entiendo por qué usar el parámetro $\alpha$ aunque se ha desvanecido después de todo. ¿Qué significado tiene? en el libro, $\alpha$ se refiere a un parámetro infinitesimal y $\Delta\phi$ es alguna deformación del campo. Si $\Delta\phi$ es una deformación del campo, ¿por qué simplemente definir el campo como

ϕ^{'} = ϕ + Δ ϕ ?

$\phi^\prime=\phi+\Delta\phi~?$

knzhou

Si tu mantienes

α

$\alpha$ explícito es más fácil ver qué términos son pequeños y qué términos son muy pequeños. Eso es realmente.

mis2cts

α

$\alpha$ es arbitrariamente pequeño pero no desaparece.

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@ my2cts Lo que quiero decir es que se desvanece al derivar la corriente de Noether,

j^{μ}

$j^\mu$

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¿Cuál es el significado del parámetro en el teorema de Noether?

Si tu mantienes $\alpha$ explícito es más fácil ver qué términos son pequeños y qué términos son muy pequeños. Eso es realmente.
@ my2cts Lo que quiero decir es que se desvanece al derivar la corriente de Noether, $j^\mu$

qmecanico · Answer 1

La suposición en el primer teorema de Noether es que hay un parámetro de 1 $^1$ familia de transformaciones de campo y espacio-tiempo (con parámetro $\epsilon\equiv\alpha\in\mathbb{R}$ ).
Queremos estudiar la correspondiente familia de funcionales de acción de 1 parámetro $S(\epsilon)$ .
La transformación de 1 parámetro se llama, por definición, cuasisimetría (QS) iff
$\begin{matrix} (QS) & {\frac{d S (ϵ)}{d ϵ} |}_{ϵ = 0} = integral de frontera . \end{matrix}$ $\left. \frac{dS(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} ~=~\text{boundary integral}. \tag{QS}$
Aunque el parámetro 1 $\epsilon$ en última instancia, no es necesario en la formulación de la ley final de conservación de Noether, es útil en la definición e identificación de un QS.
Si uno quiere mantener el parámetro 1 $\epsilon$ dentro o fuera de la $\Delta \phi$ símbolo es una elección convencional. Ambas convenciones se utilizan en la literatura.
Mencionemos para completar que en el contexto del segundo teorema de Noether y la simetría de calibre, $\epsilon(x)$ es una función del espacio-tiempo.
Incluso dentro del contexto del primer teorema de Noether, a veces el parámetro 1 $\epsilon$ es ascendido a una función $\epsilon(x)$ del espacio-tiempo como un truco .

--

$^1$ Esto se puede generalizar a un número finito de parámetros, pero hagámoslo simple aquí.

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