¿Cuál es la importancia del teorema de Noether en Física?

(Solo sé la importancia, no el tratamiento matemático, etc., pero dudo que quieras eso)

Significado

El teorema de Noether nos permite obtener leyes de conservación. Las leyes de conservación son prácticamente la vida de la física. Si desea calcular el resultado de cualquier proceso, debe ver qué se conserva en el proceso. Sin estas leyes, se quedaría con un sistema incompleto. Matemáticamente, tendrías más variables que ecuaciones.

El teorema de Noether nos permite obtener leyes de conservación de una manera hermosa: cualquier simetría en el sistema da lugar a una ley/invariante de conservación. Esto es algo semi-intuitivo, así que daré un ejemplo (tomado de La teoría de casi todo de Robert Oerter):

Ejemplo

Imagina a un skater en un medio tubo. Puede andar en patineta de dos maneras: a lo largo de la dirección de la tubería y perpendicular a ella (de forma oscilatoria). Ahora, veamos qué sucede cuando cambiamos la tubería. Si aparentemente nada cambia en tal cambio ("cambio espacial"), entonces tenemos una ley de conservación. Así que digamos que lo cambiamos a lo largo de la dirección de la tubería. Obviamente, el skater no sentirá nada. Pero, si cambiamos la tubería en la dirección perpendicular a su longitud, el patinador estará flotando en el aire y definitivamente notará un cambio. Esto se muestra en el siguiente diagrama. La flecha negra indica cómo cambié la tubería. La flecha roja muestra el cambio (relativo) del patinador, y la figura roja es la posición final (relativa) del patinador.

Entonces, ¿cuál es la cantidad conservada? Debe conservarse a lo largo de la tubería pero no perpendicular a ella. Aquí, es la velocidad (en realidad, el impulso). El patinador tendrá una velocidad constante a lo largo de la tubería, pero su velocidad puede cambiar en la dirección perpendicular.

Parece más obvio cómo funciona ahora el teorema; si hay un tipo de simetría, entonces hacer un "cambio" de acuerdo con la simetría no cambia nada y, por lo tanto, algo es invariante o conservado.

Más sobre eso

En la física moderna, ves simetrías de izquierda a derecha y de centro. Se pone mucho énfasis en las simetrías, ya que te permiten obtener leyes de conservación sin necesidad de especificar la ley como un axioma.

Algunas simetrías más y sus leyes de conservación:

• Invariancia en el tiempo: Energía
• simetría rotacional: Momento angular
• cambios de fase (cambiar la fase del campo de electrones): Conservación de la carga
• Invariancia de indicador de color (cambiar los campos de color por una rotación de fase): Conservación del color (QCD)

Tenga en cuenta que el color QCD se conserva de forma trivial en la dispersión --- todo lo que entra sale neutral. Esta ley de conservación es sólo una cosa de corta distancia.

Ningún teorema es una de las partes críticas de la física moderna que sienta las bases para la conexión entre la simetría y las leyes de conservación.

Yo diría que es sumamente importante, pero su importancia no es demasiado conocida por los estudiantes. Incluso faltaba en algunos cursos antiguos de física teórica. Probablemente, debido al hecho de que en la mayoría de los casos simples el enunciado de este teorema es obvio.