¿Se sigue la conservación del Wronskiano del principio de Noether?

1. Primero analicemos el wronskiano conservado

   $$W(q_1,q_2)~=~q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1\tag{1}$$ para sistemas 1D. Dentro del caso 1D, la propiedad de un Wronskiano conservado (1) no parece ser válida en general más allá de un oscilador armónico con dependencia temporal explícita, es decir, la ley de Hooke. $$m\ddot{q}~\approx~-k(t)q ,\tag{2}$$ donde la constante de resorte$k(t)$puede depender explícitamente del tiempo. (El$\approx$símbolo significa igualdad módulo eom.) En ese caso es tentador ver las dos soluciones$q_1$y$q_2$como ocurre a lo largo de dos ejes perpendiculares (que llamaremos$q_1$y$q_2$, respectivamente, por simplicidad) en el plano$\mathbb{R}^2$. (El avión$\mathbb{R}^2$puede identificarse con el plano complejo$\mathbb{C}$, cf. la respuesta de Valter Moretti.) En otras palabras, estamos considerando el Lagrangiano 2D $$L_2~:=~\frac{m}{2}(\dot{q}_1^2+\dot{q}_2^2)-\frac{k(t)}{2}(q_1^2+q_2^2).\tag{3}$$ Este Lagrangiano (3) tiene una simetría rotacional, lo que por el teorema de Noether significa que el momento angular $$L_3~:=~m(q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1)~=~m W(q_1,q_2),\tag{4}$$ y por tanto el wronskiano (1) se conserva en el tiempo.

2. A continuación, debemos mencionar que el punto de partida de OP está estrechamente relacionado con la formulación hamiltoniana covariante, cf. por ejemplo, ref. 1 y esta y esta Phys.SE publicaciones. Vea también esta publicación de Phys.SE, que también comienza con una construcción similar a Wronskian. (A continuación, vamos a usar variables impares de Grassmann , pero se puede reformular de manera equivalente en el lenguaje del cálculo exterior y los productos de cuña). Partimos de la acción
   

   $$S_0[q]~=~\int\! dt~L_0,\qquad L_0~:=~\frac{m}{2}\dot{q}^2- V(q),\tag{5}$$ con la ecuación de Euler-Lagrange (EL) $$0~\approx~\frac{\delta S_0}{\delta q}~=~-m\ddot{q}-V^{\prime}(q). \tag{6}$$ Podemos introducir una transformación nilpotente impar de Grassmann$^1$ $${\rm s} q(t) ~=~ c(t), \qquad{\rm s}^2~=~0.\tag{7}$$ Considere ahora la acción impar de Grassmann $$\begin{align} S_1[q,c]~:=~&{\rm s}S_0~=~\int\! dt~L_1,\cr L_1~:=~&\frac{d}{dt}\left(m\dot{q}c\right)+ \frac{\delta S_0}{\delta q} c ~=~ m\dot{q}\dot{c}- V^{\prime}(q)c,\end{align}\tag{8}$$ con ecuaciones EL $$\begin{align} 0~\approx~&\frac{\delta S_1}{\delta q}~=~-m\ddot{c}-V^{\prime\prime}(q)c, \cr 0~\approx~&\frac{\delta S_1}{\delta c}~=~-m\ddot{q}-V^{\prime}(q). \end{align}\tag{9}$$ (El término de derivada temporal total en la ecuación (8) se introduce por razones técnicas para evitar derivadas temporales de orden superior en el Lagrangiano$L_1$.) La acción impar de Grassmann$S_1$posee por construcción la simetría impar de Grassmann (7), porque${\rm s}$es nilpotente, es decir, es cuadrado a cero. Por lo tanto, podemos usar una superversión del teorema de Noether para concluir que la carga de Noether correspondiente $$Q~=~c\frac{\partial L_1}{\delta \dot{q}} ~=~m c\dot{c} \tag{10}$$ se conserva en la concha $$\frac{dQ}{dt}~\approx~0. \tag{11}$$ La carga de Noether (10) es la versión mecánica puntual de la corriente simpléctica de 2 formas en la Ref. 1. Constituye el primer paso en una transformación covariante de Legendre de la formulación lagrangiana a la hamiltoniana. (La palabra covarianza se refiere al hecho de que el tiempo y el espacio se tratan en pie de igualdad. OP solo considera la mecánica de puntos, donde la covarianza no es visible, pero la covarianza manifiesta de Lorentz se convierte en un problema en la teoría de campos. Dejamos que el lector generalice la construcción anterior a la teoría de campos.)

3. Finalmente, analicemos el teorema de Liouville . Hay varias versiones del teorema de Liouville .

   Una versión establece que un campo vectorial hamiltoniano $X_H=\{H,\cdot\}_{PB}$en una variedad simpléctica $(M,\omega)$es libre de divergencia

   $$0~=~{\rm div} X_{H}~=~\sum_{i=1}^{2n} \frac{\partial X_H^i}{\partial z^i},\tag{12}$$ dónde$z^i$son coordenadas de Darboux / coordenadas canónicas . ecuación (12) está cableado en geometría simpléctica. Se deduce del hecho de que los campos vectoriales hamiltonianos conservan la estructura simpléctica $${\cal L}_{X_H}\omega~=~ 0.\tag{13}$$ Las ecuaciones de Hamilton leen $$\dot{z}^i~\approx~\{z^i,H\}_{PB}~=~-X_H^i.\tag{14}$$ Si formamos la corriente $$V^{\mu}~=~(V^0,V^i)~=~(1,-X_H^i)~\approx~(\dot{z}^0,\dot{z}^i)~=~\dot{z}^{ \mu},\tag{15}$$ alternativamente podemos escribir (12) como $$\sum_{\mu=0}^{2n}\frac{\partial V^{\mu}}{\partial z^{\mu}} ~=~0.\tag{16}$$ Aquí hemos introducido la notación$z^0\equiv t$para el tiempo.

   Otra versión del teorema de Liouville considera una distribución de espacio de fase$\rho \in {\cal F}(\mathbb{R}\times M)$cuya derivada temporal total/material

   $$0~\approx~\frac{d\rho}{dt}~=~\sum_{\mu =0}^{2n}\frac{\partial \rho}{\partial z^{\mu}} \dot{z}^{\mu} ~\approx~\frac{\partial \rho}{\partial t}+\{\rho,H\}_{PB}\tag{17}$$ desaparece ecuación (17) se llama ecuación de Liouville. Expresa la conservación de la probabilidad. A continuación formamos la corriente $$J^{\mu}~=~\rho V^{\mu},\tag{18}$$ que es libre de divergencia $$\sum_{\mu=0}^{2n}\frac{\partial J^{\mu}}{\partial z^{\mu}} ~\approx~0\tag{19}$$ debido a las ecs. (12-18). ecuación (19) puede verse como una ecuación de continuidad . Tenga en cuenta que el índice$\mu$se ejecuta sobre variables de espacio de fase dinámicamente activas y tiempo. ecuación (19) es bastante diferente de una ley de conservación de Noether $$\sum_{\mu=0}^{D-1}\frac{d j^{\mu}}{d x^{\mu}} ~\approx~0,\tag{20}$$ donde el indice$\mu$se ejecuta sobre variables de espacio-tiempo dinámicamente pasivas. La mejor apuesta en una conexión con el teorema de Noether parece ser eq. (17) y esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

1. C. Crnkovic & E. Witten, Descripción covariante del formalismo canónico en teorías geométricas. Publicado en Trescientos años de gravitación (Eds. SW Hawking y W. Israel), (1987) 676.

--

$^1$Para simplificar, usamos aquí la convención de que las superderivadas y la transformación${\bf s}$son derivaciones por la izquierda , es decir

Con respecto a su primera pregunta, si pasa a variables complejas, el teorema de Noether implica su ley de conservación. El punto es que estás tratando con dos soluciones reales independientes mientras que la ecuación diferencial se refiere a una sola solución. La forma más sencilla de presentar dos soluciones independientes es verlas como la parte real y compleja de una solución compleja.

En la práctica considere el Lagrangiano: