¿Se puede entender intuitivamente el teorema de Noether?

Es intuitivamente claro que la energía describe con mayor precisión cuánto cambia el estado del sistema con el tiempo. Entonces, si las leyes de la física no dependen del tiempo, entonces la cantidad de cambios en el estado del sistema con el tiempo debe conservarse porque sigue cambiando de la misma manera.

De la misma manera, y tal vez incluso más intuitivamente, si las leyes no dependen de la posición, puedes golpear los objetos, y golpearlos un poco más, y así sucesivamente. El impulso mide cuánto dependen los objetos del espacio, por lo que si las leyes mismas no dependen de la posición en el espacio, el impulso debe conservarse.

El momento angular con respecto a un eje determina cuánto cambia el estado si lo gira alrededor del eje, cuánto depende del ángulo (por lo tanto, "angular" en el nombre). Entonces la simetría está ligada a la ley de conservación una vez más.

Si su intuición no encuentra los comentarios lo suficientemente intuitivos, tal vez debería entrenar su intuición porque su intuición actual aparentemente pasa por alto las propiedades más importantes del tiempo, el espacio, los ángulos, la energía, el momento y el momento angular. ;-)

El argumento intuitivo para el teorema de Noether, que también es el mejor argumento completamente preciso para el teorema de Noether, aparece en el popular libro de Feynman "El carácter de la ley física". Reproduciré el argumento que se basa en el siguiente diagrama:

En este diagrama, los dos garabatos paralelos con una línea que los conecta en la parte superior e inferior representan una trayectoria de partículas y una trayectoria de partículas desplazada.

La acción es estacionaria en el camino de la partícula, por lo que el garabato cuadrado que se traslada, sube en paralelo y regresa tiene la misma acción que el camino original. Sin embargo, la ruta original tiene la misma acción que la parte ondulada de la otra ruta, por lo tanto, las dos líneas horizontales en la parte superior e inferior tienen la misma acción.

Puede usar este argumento para encontrar la forma exacta de la corriente de Noether reemplazando las líneas horizontales de Feynman con patadas rápidas por el impulso durante un tiempo$\epsilon$. Su argumento es una prueba honesta a la bondad, es de lejos la mejor prueba, y es el único caso en toda la historia de la publicación donde un resultado se presenta mejor en un libro popular.

Si haces que las patadas sean continuas en el tiempo, de modo que vengan aquí y allá, aún puedes ver que las patadas se integran por partes. Este argumento aparece en la introducción de uno de los artículos de Hawking de la década de 1970, y es esencialmente equivalente al argumento del "Carácter de la ley física" de Feynman, excepto que aparece más de diez años después.

Bueno, no conozco ninguna explicación intuitiva además de la intuición obtenida al comprender las matemáticas subyacentes (principalmente geometría diferencial, mecánica hamiltoniana y teoría de grupos). Entonces, con el riesgo de no darle exactamente lo que quiere, intentaré abordar el problema matemáticamente.

Si conoces la mecánica hamiltoniana, entonces el enunciado del teorema es extremadamente simple. Supongamos que tenemos un hamiltoniano$H$. A esto se asocia un flujo hamiltoniano único (es decir, una familia de simplectomorfismos de un parámetro, que es solo un nombre elegante para los difeomorfismos que conservan la estructura simpléctica)$\Phi_H(t)$en el múltiple. Desde el punto de vista de la teoría de Lie, el flujo es una acción de grupo y existe su generador (que es un campo vectorial)$V_H$(Esto también se puede obtener de$\omega(\cdot, V_H) = dH$con$\omega$siendo la forma simpléctica). Ahora, se pueden escribir las mismas cosas para alguna otra función.$A$, con generador$V_A$y fluir$\Phi_A(s)$. piensa en esto$A$como alguna cantidad conservada y de$\Phi_A(s)$como una familia continua de simetrías.

Ahora, a partir de la ecuación hamiltoniana${{\rm d} A \over {\rm d} t} = \left\{A,H\right\}$vemos que si$A$Poisson-conmuta con$H$se conserva. Ahora, este no es el final de la historia. Del segundo párrafo debe quedar claro que$A$y$H$no difieran tanto. En realidad, ¿y si los intercambiamos? Entonces obtendríamos${{\rm d} H \over {\rm d} s} = \left\{H,A\right\}$. Entonces vemos que$A$es constante a lo largo del flujo hamiltoniano (es decir, se conserva) si y solo si$H$es constante a lo largo del flujo de simetría (es decir, las leyes físicas son simétricas).

Tanto por qué las cosas funcionan. Ahora bien, ¿cómo pasamos de simetrías a cantidades conservadas? En realidad, esto no es difícil en absoluto, pero requiere algunos conocimientos de geometría diferencial. Comencemos con el ejemplo más simple.

Traducción

Esta es una simetría tal que$x \to x^\prime = x + a$. Puedes imaginar que movemos nuestras coordenadas a lo largo de la$x$dirección. Con$a$siendo un parámetro, este es un flujo de simetría. Si diferenciamos con respecto a este parámetro, obtendremos un campo vectorial. Aquí estará$\partial_x$(es decir, campo vectorial constante que apunta en la dirección$x$). Ahora bien, ¿a qué función en la variedad simpléctica corresponde? Fácil, debe ser$p$porque al diferenciar esto obtendremos un campo constante de 1 formulario$dp$y luego tenemos que usar$\omega$para obtener un campo vectorial$\partial_x$.

Otra forma de ver que debe ser$p$: supongamos que tienes una ola$\exp(ipx)$. Después$\partial_x \exp(ipx) = ip \exp(ipx)$así que el impulso y las derivadas parciales son moralmente lo mismo. Aquí, por supuesto, estamos explotando la similitud entre la transformada de Fourier (que conecta$x$y$p$imágenes) y estructura simpléctica (que combina$x$y$p$).

Rotación

Ahora en algo un poco más difícil. Supongamos que tenemos un flujo

$$\pmatrix{x \cr y} \to \pmatrix{x' \cr y'}= \pmatrix{\cos(\phi) & \sin(\phi) \cr - \sin(\phi) & \cos(\phi)} \pmatrix {x \cr y}$$ Esto es, por supuesto, un flujo rotacional. Aquí obtendremos un campo$y {\rm d}x - x {\rm d} y$y la cantidad conservada de la forma$y p_x - x p_y$que puede considerarse en tres dimensiones como un tercer componente del momento angular$L_z$.

Tenga en cuenta que lo anterior se hizo principalmente con fines ilustrativos, ya que podríamos haber trabajado en coordenadas polares y luego sería el mismo problema que el primero porque obtendríamos el campo$\partial_{\phi}$y cantidad conservada$p_{\phi}$(que es el momento angular).

Aquí están mis dos centavos. Lea la prueba, lo ayudará a comprender y desarrollar la intuición porque es constructiva. Te muestra explícitamente cuál es la cantidad conservada, dado el grupo de simetrías. Si es demasiado difícil de seguir y no puede ver el bosque debido a los árboles, intente algunos ejemplos que deberían ayudar. También aquí hay un enlace que puede ayudar un poco.

http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html

Solo puedo decir que esas cantidades conservadas que ha enumerado anteriormente son aditivas en partículas:$P = \sum p_i(t)$, por ejemplo. ¡Pero hay aquellos que no son aditivos! No tienen nombres especiales.

Para N ecuaciones diferenciales hay tantas integrales de movimiento como condiciones iniciales más o menos. Algunas de ellas pueden expresarse a veces en forma aditiva, pero generalmente (cuando no hay simetrías) el número total de integrales de movimiento sigue siendo el mismo. Todos son simplemente no aditivos (más desordenados, si lo desea). Entonces respondería que las simetrías ayudan a combinar algunas integrales de movimiento como cantidades conservadas aditivas en todas las partículas.

EDICIÓN 1: ¿Tal vez el teorema de Noether muestra explícitamente cuáles son las cantidades conservadas, mientras que de las ecuaciones puede no ser tan evidente derivar?

EDICIÓN 2: obtuve -4. ¿Es mi razonamiento realmente tan malo?

EDIT 3: una página de Landau:

EDIT 4: Un ejemplo de integrales de movimiento:

Dado que es un teorema matemático cuyo contenido físico ya conoce, es difícil discutirlo sin matemáticas. Pero aun así intentaré presentarlo de una manera sencilla. Puede ayudar si entendemos cómo se deriva.

Generalmente buscamos una invariancia de la acción bajo una transformación de simetría con un parámetro independiente del tiempo. Esta es entonces una identidad matemática trivial. Ahora se observa que si las variables dinámicas obedecen a las ecuaciones de los movimientos, la acción se vuelve estacionaria incluso si el parámetro depende del tiempo. Observamos que la variación de la acción -que debe ser cero ya que la acción es estacionaria- sólo puede depender de la integración de las derivadas temporales del parámetro. Ahora integre por partes para quitarle todas las derivadas temporales y mantener el resto en el integrando. Como el parámetro es arbitrario, su coeficiente en la integral debe ser cero. Ahora bien, este coeficiente es la derivada temporal de algo cuya derivada temporal es cero. Por lo tanto este "algo" es constante o conservado en el tiempo.

Acabo de echar un vistazo rápido a las respuestas y creo que se está pasando por alto un punto sistemáticamente.

El teorema de Noether es una definición de la cantidad conservada asociada a una simetría, además de una prueba de que las ecuaciones de movimiento implican efectivamente la conservación de dicha cantidad bajo la evolución del tiempo. (Esto es conceptualmente similar a cómo la primera ley de movimiento de Newton es una definición de marcos inerciales).

OP escribe

*Independencia del tiempo ↔ conservación de energía

que debe entenderse como

*Independencia del tiempo ↔ existe una cantidad conservada E, que hemos convenido en llamar "energía".

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El enfoque de "ningún truco" del teorema (realmente relevante para los cálculos) también parece estar ausente. Para completar, lo ilustraré para

$$S=\int dt\; \tfrac{1}{2} \dot q(t)^2.$$ Digamos que desea la cantidad conservada asociada a las traducciones de tiempo$q(t)\to q(t+\varepsilon \Delta t)$por$\varepsilon \in[0,1)$y$\Delta t$un intervalo de tiempo arbitrario (siendo absolutamente preciso aquí). Ya que $$\exp(\varepsilon \Delta t\;\partial/\partial t) q(t)=q(t+\varepsilon (\Delta t))$$ entendemos que el generador infinitesimal es el operador $$\delta_\varepsilon=\varepsilon \Delta t\frac{\partial}{\partial t}$$ (Esto es esencialmente el teorema de Taylor). Esta es una variación, por lo que $$\label{blah} \delta_\varepsilon S=\int dt\; \dot{q}\delta_\varepsilon \dot q= \int dt\;\dot q \frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon \Delta t \dot q)\,, \quad (\star)$$ Esta es obviamente la integral de un total$\partial/\partial t$derivado, entonces$\delta_\varepsilon S=0$.

El truco de Noether es calcular$(\star)$con el reemplazo

$$\varepsilon\to\varepsilon(t)$$ (satisfaciendo las condiciones de contorno correctas, etc.). Encuentro $$\delta_{\varepsilon(t)} S=\int dt\;\dot q \frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon \Delta t \dot q) =-\Delta t\int dt\; \ddot q \dot q \varepsilon=-\Delta t\int dt\;\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\dot q^2}{2}\Big) \varepsilon.$$ Ya que$\delta_{\varepsilon(t)} q$conserva las condiciones de contorno,$\delta_{\varepsilon(t)} S$debe desaparecer siempre que se mantengan las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto $$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\dot q^2}{2}\Big)=0$$ cuando se cumplen las ecuaciones de movimiento.

Leemos la cantidad conservada "energía cinética"

$$T=\Big(\frac{\dot q^2}{2}\Big).$$

El papel de la independencia temporal es arreglar que después de eliminar todas las derivadas de$\varepsilon$a través de la integración por partes, su coeficiente se convierte en una derivada de tiempo total.

Consulte Townsend (de quien aprendí esto) para obtener más detalles.