Si se conocen todas las cantidades conservadas de un sistema, ¿pueden explicarse por simetrías?

Si un sistema tiene norte grados de libertad (DOF) y por lo tanto norte independientes 1 cantidades conservadas integrales de movimiento, pueden simetrías continuas con un total de norte se encuentran los parámetros que entregan estas cantidades conservadas por medio del teorema de Noether ? Creo que esto no es exactamente lo contrario del teorema de Noether, ya que no pregunto si para cada cantidad conservada se puede recuperar una simetría, pregunto sobre una conexión entre todo el conjunto de cantidades conservadas y simetrías.


1) o 2 norte 1 , o norte , dependiendo de la definición y los detalles que son irrelevantes aquí. Pero permítanme ampliarlo de todos modos... Considero que la cantidad de grados de libertad es igual a la cantidad de condiciones iniciales requeridas para describir completamente un sistema en Mecánica Clásica. Eso significa que las velocidades (o momentos) se consideran DOF individuales, y no que cada par de coordenadas + velocidad formen solo un DOF. El tiempo no es DOF ​​sin embargo, es un parámetro . Discuta esto en esta pregunta si no está de acuerdo.

Parece haber una definición de "cantidades conservadas" propagándose en estos foros que no es compartida por el resto de la humanidad. Una cantidad conservada es una combinación de las variables dinámicas que no depende del tiempo. La existencia de estos depende crucialmente del teorema de Noether. Las cantidades a las que te refieres son combinaciones de las variables dinámicas Y EL TIEMPO, que caracterizan las condiciones iniciales del sistema. Estos no están relacionados con las simetrías, se "conservan" solo de la manera más trivial y no le brindan ninguna información sobre el sistema.
@Hiatus I (espero) entender eso, pero mi pregunta es: desde la simetría A j ( j 1 , . . . , 2 norte 1 ) se sigue por el teorema de Noether que la cantidad B j se conserva sólo se puede deducir que si la cantidad B j no se conserva la simetria A j no se cumple, pero la conservación de B j no implica necesariamente simetría A j , ¿hay algún enunciado sobre un conjunto de algunas simetrías C j cuyo cumplimiento es seguro si (o si) todos B j se conservan?
Marek responde correctamente la pregunta en sí, pero la premisa de la pregunta (que cualquier sistema tiene cantidades conservadas 2N o 2N-1) no es correcta. Un sistema genérico no tiene cantidades conservadas, y lo máximo que puede tener es N, cuando el sistema es completamente integrable. Parece estar siguiendo a Vladimir al confundir cantidades conservadas con constantes de integración.
Estimado @Hiatus. No es cierto que un sistema con norte dof solo puede tener norte constantes de movimiento. Considerar norte = 1 , una partícula libre 1D con hamiltoniano H = pags 2 2 metro . Todos estamos de acuerdo en que el impulso pags es una constante de movimiento. Ahora considera F := q pags t metro . La variable F es también una constante de movimiento independiente, cf. d F d t = { F , H } + F t = 0.
@Qmechanic: Buen ejemplo. La segunda cantidad F depende explícitamente del tiempo. Por lo tanto, no es lo mismo que lo que normalmente llamarías "cantidad conservada", que siempre está relacionada con una simetría. Esto no es solo semántica: cualquier uso de una cantidad realmente conservada que se le ocurra funcionará para p pero no para F. Por ejemplo, saber que el momento se conserva simplifica las ecuaciones de movimiento, mientras que conocer la forma explícita de F implica tener ya resolvió esas ecuaciones (F solo tiene una forma simple aquí porque se conserva el momento).
También puede convencerse de que para cualquier cantidad, cualquier función de las variables dinámicas en cualquier sistema, puede inventar infinitas "constantes de movimiento" dependientes del tiempo. Estos podrían ser el valor de esa cantidad en el momento del alunizaje, o en el momento en que naciste, o mañana por la mañana. Esta es una trivialidad que no tiene nada que ver con las verdaderas leyes de conservación que te dicen que una combinación de medidas que haces al mismo tiempo es la misma para todos los tiempos.
Estimado @Hiatus. 1) La definición de que una cantidad F = F ( q , pags , t ) es una constante de movimiento (com) es solo que la derivada del tiempo total se anula d F d t = 0 . La definición no tiene nada que ver con la dependencia temporal explícita, que de todos modos puede cambiar bajo transformaciones de coordenadas en el espacio de fase. 2) Para muchos grados de libertad finitos norte hay como mucho 2 norte com independiente No hay infinitamente muchos com independientes 3) En el ejemplo de una partícula 1D libre en mi comentario anterior, es posible construir una simetría que a través de Noether Thm conduce a F := q pags t metro como una corriente de Noether conservada.
@Qmechanic: Estoy de acuerdo con todo lo que dice sobre "constantes de movimiento", que es lo que Landau y Lifshitz llaman "integrales de movimiento". Solo estoy señalando que no son lo mismo que lo que se denomina convencionalmente "cantidades conservadas", que están relacionadas con las simetrías y se utilizan, por ejemplo, para simplificar las ecuaciones de movimiento. Estos últimos tienen una relación general con las simetrías a través del teorema de Noether, los primeros son solo cantidades formales que no ayudan a resolver nada ni a caracterizar el sistema (por ejemplo, en general, su forma depende no solo del tiempo sino de la trayectoria específica).
De todos modos, no vamos a resolver esto aquí y, en cualquier caso, se supone que debo estar en un descanso. En otro momento entonces.
@Hiatus: en la formulación hamiltoniana, una cantidad conservada implica simetría, es decir, hay un teorema de Noether inverso, cf. esta publicación Phys.SE. Véase también mi respuesta a continuación. Con respecto a la definición de constantes de movimiento frente a integrales de movimiento, consulte esta publicación de Phys.SE.

Respuestas (4)

Ya hay varias buenas respuestas. Sin embargo, el aspecto fuera de la cáscara relacionado con el Teorema de Noether no se ha abordado hasta ahora. (Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de movimiento (eom) se cumplen o no). Reformulemos el problema de la siguiente manera.

Considere un sistema hamiltoniano (no necesariamente aislado) con norte grados de libertad (dof). El espacio de fases tiene 2 norte coordenadas, que denotamos ( z 1 , , z 2 norte ) .

(No tendremos nada que decir sobre el problema lagrangiano correspondiente.)

  1. Estructura simpléctica. Por lo general, trabajamos en coordenadas de Darboux. ( q 1 , , q norte ; pags 1 , , pags norte ) , con el potencial simpléctico canónico de una forma

    ϑ = i = 1 norte pags i d q i .
    Sin embargo, resulta ser más eficiente en cálculos posteriores, si en cambio consideramos desde el principio coordenadas generales ( z 1 , , z 2 norte ) y un potencial simpléctico general (definido globalmente) de una sola forma
    ϑ = yo = 1 2 norte ϑ yo ( z ; t ) d z yo ,
    con dos formas simplécticas no degeneradas (=invertibles)
    ω = 1 2 yo , j = 1 2 norte ω yo j   d z yo d z j = d ϑ , ω yo j = [ yo ϑ j ] = yo ϑ j j ϑ yo .
    El corchete de Poisson correspondiente es
    { F , gramo } = yo , j = 1 2 norte ( yo F ) ω yo j ( j gramo ) , j = 1 2 norte ω yo j ω j k = d yo k .

  2. Acción. La acción hamiltoniana S lee

    S [ z ] = d t   L H ( z 1 , , z 2 norte ; z ˙ 1 , , z ˙ 2 norte ; t ) ,
    dónde
    L H ( z ; z ˙ ; t ) = yo = 1 2 norte ϑ yo ( z ; t ) z ˙ yo H ( z ; t )
    es el hamiltoniano lagrangiano. Por variación infinitesimal
    d S = d t yo = 1 2 norte d z yo ( j = 1 2 norte ω yo j z ˙ j yo H 0 ϑ yo ) + d t d d t yo = 1 2 norte ϑ yo d z yo , 0 t ,
    de la acción S , encontramos el eom de Hamilton
    z ˙ yo j = 1 2 norte ω yo j ( j H + 0 ϑ j ) = { z yo , H } + j = 1 2 norte ω yo j 0 ϑ j .
    (Usaremos el signo para enfatizar que una ecuación es una ecuación en el caparazón.)

  3. Constantes de movimiento. La solución

    z yo = Z yo ( a 1 , , a 2 norte ; t )
    a la eom de Hamilton de primer orden depende de 2 norte constantes de integración ( a 1 , , a 2 norte ) . Asumiendo condiciones de regularidad apropiadas, en principio es posible invertir localmente esta relación tal que las constantes de integración
    a yo = A yo ( z 1 , , z 2 norte ; t )
    se expresan en términos de ( z 1 , , z 2 norte ) variable y tiempo t . Estas funciones A yo son 2 norte constantes de movimiento (definidas localmente) (com), es decir, constantes en el tiempo d A yo d t 0 . Cualquier función B ( A 1 , , A 2 norte ) del A 's, pero sin dependencia temporal explícita, será de nuevo un com En particular, podemos expresar los valores iniciales ( z 0 1 , , z 0 2 norte ) en el momento t = 0 como funciones
    Z 0 j ( z ; t ) = Z j ( A 1 ( z ; t ) , , A 2 norte ( z ; t ) ; t = 0 )
    del A s, para que Z 0 j convertirse en com

    Ahora deja

    b yo = B yo ( z 1 , , z 2 norte ; t )
    ser 2 norte com independiente (definido localmente), que hemos argumentado anteriormente debe existir. La pregunta del título de OP en esta formulación se convierte en si existe 2 norte simetrías fuera de la cáscara de la acción (definida localmente) S , tal que las corrientes de Noether correspondientes son com en el caparazón?

    Observación. Debe enfatizarse que una simetría en el caparazón es una noción vacía, porque si variamos la acción d S y aplicar eom, entonces d S 0 se desvanece por definición (términos de límite de módulo), independientemente de cuál sea la variación d consiste en. Por esta razón, a menudo acortamos la simetría fuera del caparazón a simetría . Por otro lado, cuando hablamos de com, siempre asumimos eom

  4. Cambio de coordenadas. Desde la acción S es invariante bajo el cambio de coordenadas, simplemente podemos cambiar las coordenadas z b = B ( z ; t ) hacia 2 norte com, y use el b 's como coordenadas (que simplemente llamaremos z de aquí en adelante). Entonces los eom en estas coordenadas son solo

    d z yo d t 0 ,
    por lo que concluimos que en estas coordenadas tenemos
    j H + 0 ϑ j = 0
    como una ecuación fuera de la cáscara. [Un aparte: Esto implica que la matriz simpléctica ω yo j no depende explícitamente del tiempo,
    0 ω yo j = 0 [ yo ϑ j ] = [ yo 0 ϑ j ] = [ yo j ] H = 0.
    Por lo tanto, la matriz de Poisson { z yo , z j } = ω yo j no depende explícitamente del tiempo. Por el teorema de Darboux, localmente podemos encontrar las coordenadas de Darboux ( q 1 , , q norte ; pags 1 , , pags norte ) , que también son com]

  5. Variación. Ahora realizamos una variación infinitesimal d = ε { z yo 0 , } ,

    d z j = ε { z yo 0 , z j } = ε ω yo 0 j ,
    con generador hamiltoniano z yo 0 , dónde yo 0 { 1 , , 2 norte } . Es sencillo comprobar que la variación infinitesimal d = ε { z yo 0 , } es una simetría fuera de capa de la acción (términos de límite de módulo)
    d S = ε d t d F 0 d t ,
    dónde
    F 0 = z yo 0 + j = 1 2 norte ω yo 0 j ϑ j .
    La corriente desnuda de Noether es
    j 0 = j = 1 2 norte L H z ˙ j ω yo 0 j = j = 1 2 norte ω yo 0 j ϑ j ,
    para que la corriente Noether completa
    j 0 = j 0 F 0 = z yo 0
    se vuelve justo (menos) el generador hamiltoniano z yo 0 , que se conserva en la concha d j 0 d t 0 por definición.

Entonces, la respuesta a la pregunta del título de OP es en el caso hamiltoniano.

Ver también, por ejemplo , esto , esto y esto relacionados Phys.SE publicaciones.

¿Esta respuesta tiene una referencia para lecturas adicionales? En particular a la 'corriente desnuda de Noether'. ¡Muchas gracias! :)

Sí, esto es lo opuesto al teorema de Noether. Así que llamemos a nuestra cantidad conservada A (consideraremos solo una cantidad conservada para empezar) y comenzaremos con { H , A } = 0 ley para la conservación. Debido a la conexión entre el soporte de Poisson con los flujos en el espacio de fase, esto les dice a ambos que L V H A = 0 ( A se conserva en la evolución del tiempo) y L V A H = 0 (El hamiltoniano se conserva bajo simetría que tiene campo fundamental V A ) siempre que los campos de vectores asociados a las funciones en el espacio de fase como V X = ( d X ) no son degenerados en cierto sentido. Tenga en cuenta que elevar ( ) El operador se define obviamente usando la forma simpléctica inversa . Esto, por ejemplo, significa que, por ejemplo, las constantes genuinas (que ciertamente también son constantes de movimiento) no funcionarán porque d C = 0 y obtenemos campo vectorial cero.

Por otro lado, siempre que todas las cantidades conservadas no sean degeneradas, siempre podemos encontrar los flujos de simetría asociados mediante la integración de los campos vectoriales mencionados anteriormente. Pero tenga en cuenta que lo que recibimos al final son simetrías del espacio de fase . Si estos también están directamente relacionados con alguna simetría del espacio de posición subyacente (es decir, si existe tal espacio; en general, no es necesario que lo haya, pero en las aplicaciones habituales tomamos el espacio de fase de la variedad de posición METRO como el paquete cotangente T METRO ) es una pregunta para una mayor investigación. Intentaré investigarlo más tarde, si encuentro algo de tiempo.

gracias por tu respuesta. Desafortunadamente no estoy familiarizado con la notación. L V H y ( d X ) , ¿qué quieren decir? (Señalar alguna referencia o entrada de wikipedia sería suficiente)
@Tobias: lo siento. Son todas nociones básicas en geometría diferencial; mentira derivada L V con respecto al campo vectorial V , derivada exterior d ω de forma diferencial ω e isomorfismo musical ( ) que asigna formas a vectores. Por ejemplo, si tenía una métrica, esta es una acrobacia de índice habitual V i = gramo i j V j y así...
@Marek: gracias, eso ayudó mucho. Con respecto a su punto de constantes genuinas, solo estaba considerando constantes de movimiento "verdaderas", es decir, el conjunto mínimo de constantes que se requieren para describir completamente el sistema
@Tobias: Ya veo. Quizás su definición de constantes de movimiento "verdaderas" (lo que sea que eso signifique) coincide con mi requisito sobre la no degeneración de los campos vectoriales asociados (o, de manera equivalente, la no degeneración del campo de forma d A )? Si pudiera ser un poco más preciso acerca de la parte de "describir completamente el sistema", sería bueno. Quizás te refieres a algo así como coordenadas definidas en todas partes en la familia de trayectorias (que es un ( 2 norte 1 ) multidimensional gracias a la no degeneración de la evolución)? ¿Así que, por ejemplo, las condiciones iniciales en un momento dado servirían?
@Marek: sí, me refiero exactamente a esa variedad (perdón por mi redacción diferente, pero desafortunadamente no tengo experiencia con geometría diferencial), es decir, cualquier conjunto de 2 norte 1 constantes para las que existe una aplicación biyectiva a las condiciones iniciales
@Tobias: igualmente, lo siento por ser demasiado formal. Aparentemente es perjudicial para la comunicación. De todos modos, creo que ahora nos entendemos. Y de hecho, si tenemos tal familia de constantes, podemos pensar en ellas como coordenadas de todo el espacio de fase (si agregamos también el tiempo como el 2 norte t h coordenada, eso es). Por lo tanto, de hecho, siempre habrá 2 norte simetrías del espacio de fases. Entonces, dejando esto fuera del camino, la esencia de su pregunta es cuándo tal simetría proviene de una simetría de un espacio de posición. Que todavía tengo la intención de investigar :)
@Tobias: aunque después de leer el último comentario de Moshe, veo que me había adelantado :) De hecho, podría no ser posible parametrizar el espacio de fase por 2 norte coordenadas Por ejemplo, pensando en sistemas caóticos, si perturbas un poco la condición inicial (que corresponde al cambio local de coordenadas) obtienes una familia de caminos que caminan salvajemente por todo el espacio de fase. Obviamente, estos realmente no pueden servir como coordenadas globales. Comentarios similares son probablemente también un origen de que haya a lo sumo norte cantidades conservadas: una declaración con la que estoy familiarizado pero que realmente no he investigado ...
@Marek, la esencia de su respuesta es correcta: la carga conservada genera un flujo en el espacio de fase que es una simetría siempre que se conserve la carga.

Comenzaré con algunas sutilezas terminológicas, que deben tenerse en cuenta, cuando se trata de "cantidades conservadas" o "integrales de movimiento".

En primer lugar, es importante establecer de qué variables pueden depender las cantidades. En el campo de las ecuaciones diferenciales , la dinámica hamiltoniana y los sistemas dinámicos , una cantidad conservada, por definición, no depende explícitamente del tiempo; por lo general, es una función, definida en un espacio (una variedad), que describe completamente el estado de su sistema ( utiliza todos los grados de libertad tal como los ha definido).

Otra cosa a tener en cuenta: parece posible tomar una función de una constante de movimiento y, por lo tanto, llegar a otra cantidad que sea constante y, por lo tanto, producir cualquier cantidad de constantes de movimiento. Entonces hay una condición implícita para la independencia funcional entre esos norte constantes de movimiento. Lo cual se puede formular como la desaparición de los corchetes de Poisson entre cualquier par de cantidades. Aquí está la referencia al respecto en Wikipedia, también hice una pregunta al respecto hace algún tiempo ...

Así que creo que su declaración implícita:

Si un sistema tiene N grados de libertad (DOF) y por lo tanto N cantidades independientes conservadas

No es del todo correcto, si se tiene en cuenta lo dicho sobre la noción de "cantidad conservada".


Con respecto a su pregunta sobre cómo encontrar la transformación de simetría, que corresponde a la cantidad, he abordado el problema en esta pregunta .

Brevemente -- dado un "generador" d GRAMO y alguna cantidad A . La pequeña transformación, generada por d GRAMO es:

A A + d A , d A = { d GRAMO , A }

Poniendo A = H , y notando que, si d GRAMO es una constante de movimiento, entonces { d GRAMO , H } = 0 . Inmediatamente se llega a la conclusión de que la transformación, generada por d GRAMO es la transformación de simetría. (Algunos ejemplos están aquí .)

Estimado @Kostya: Estoy de acuerdo en que la formulación de la pregunta probablemente debería haber usado la palabra integrales de movimiento en lugar de cantidades conservadas , para no chocar con el uso tradicional. Sin embargo, eso no cambia el hecho de que si uno lee más allá de la semántica, el corazón de la pregunta es matemáticamente sólido, interesante y no trivial.
Gracias por este enlace . Esto parece responder a mi pregunta a través de una prueba constructiva, ¿verdad? También (@Qmechanic, también) modifiqué mi pregunta para indicar integrales de movimiento en lugar de cantidades conservadas, ambos tienen razón en que hablar de conservación puede ser engañoso y confundirlo con la independencia del tiempo.
Ejemplo de prueba simple: conservación de masa relativista, d GRAMO := 1 2 pags 2 ϵ rendimientos d A = ϵ ( pags m m ) A , generando así movimiento en el espacio-tiempo.
Estimado @Tobias Kienzler: Bueno, para empezar, la respuesta de Kostya (v1) y la respuesta de Marek (v1) asumen un sistema aislado y no abordan la pregunta análoga de Lagrangian.
@Qmechanic: Gracias, estoy bien con los sistemas aislados (la conservación en presencia de fuerzas externas viola actio = ratio o requiere, por ejemplo, una masa infinita o algún otro mecanismo artificial de todos modos, ¿no?). Pero la restricción a los sistemas hamiltonianos es cierta, aunque me pregunto si fue suficiente para probar la existencia de un hamiltoniano (¿débil?) ya que H no se requiere explícitamente para construir la simetría, sino solo para establecer la conservación, como mostró Kostya. Así que tal vez la declaración d A = { d GRAMO , A } es válido en un contexto más general si el paréntesis de Poisson está bien definido

Querido Tobias, todo es mucho más simple: las ecuaciones son restricciones al posible movimiento del sistema y ellas mismas proporcionan cantidades conservadas. Puede llamar a estas ecuaciones "restricciones" o "requisito de simetría", si lo desea, pero son condiciones necesarias y suficientes para tener cantidades conservadas (= soluciones).

Consideremos una EDO: F ( X ˙ , X , t ) = 0 con algunos datos iniciales X 0 ( t 0 ) . Después de resolver esta ecuación, obtienes una solución que se puede convertir en una forma implícita como esta: F ( X ( t ) , t , X 0 ) = 0 . Por otro lado, esta forma implícita de solución es una ley de conservación: una combinación de la variable del problema y el tiempo no depende del tiempo.

Ahora diferencio esta solución implícita y obtengo: F X X ˙ + F ˙ = 0 . Es una expresión de conservar algo, ¿no? Por otro lado, debe coincidir o ser equivalente a la ecuación original F = 0 . Ahora entiendes que las ecuaciones son requisitos necesarios y suficientes para tener cantidades conservadas . Estos últimos son en gran medida sinónimos de soluciones .

EDITAR: No hay necesidad en ninguna simetría de tener cantidades conservadas. Solo ecuaciones. Las simetrías simplifican el aspecto de las cantidades conservadas (soluciones). Considere un movimiento 1D de una partícula en una fuerza externa dependiente del tiempo. La energía y el impulso no se conservan, pero todavía hay dos "leyes" de conservación.

Estimado @Vladimir Kalitvianski: Esta respuesta (v2) no aborda la pregunta principal, es decir, si existen 2 norte simetrías de la acción S .
No, no hay simetrías 2N de la acción S, está claro. Simplemente porque no son necesarios. Las ecuaciones son requisito necesario y suficiente para tener cantidades conservadas 2N.
Vea mi comentario anterior, una cantidad conservada en la mecánica clásica se define como una combinación de las variables dinámicas (sin una dependencia explícita del tiempo) que es independiente del tiempo. La existencia de esos se basa en simetrías. Si permite la dependencia del tiempo para sus cantidades "conservadas", la definición pierde sentido ya que cualquier cantidad, con cualquier dependencia del tiempo, se puede "conservar". Ahora, esto es mecánica clásica básica, veamos cuánto tiempo lleva establecer este hecho simple y universalmente aceptado.
Tengo una solución explícita en physics.stackexchange.com/questions/4973/… .
@Hiatus "cualquier cantidad, con cualquier dependencia del tiempo, se puede hacer para 'conservar'". Sí, Moshe, cualquier certeza es necesaria y suficiente para eso ;-)
Las cantidades que construye dependen explícitamente del tiempo y, por lo tanto, no son lo que se conoce convencionalmente como "cantidades conservadas" (que están relacionadas con el teorema de Noether). Tener su propia definición de términos convencionales es una excelente manera de generar confusión. No tengo ninguna expectativa de que modifique su comportamiento, pero espero que otros usuarios se confundan menos ahora.
@Hiatus "Mi" definición es más general ya que también cubre fuerzas no potenciales dependientes del tiempo. Además, no es "mío".
Lo que sea. Cuando las personas preguntan sobre la relación entre las simetrías y las cantidades conservadas, utilizan ambos términos tal como se definen convencionalmente. Si desea tener una definición "mejor", use un término diferente, de lo contrario, solo está generando confusión.
No veo ninguna confusión ya que el caso de la fuerza dependiente del tiempo no es diferente de un caso potencial. Las ecuaciones tienen soluciones independientemente de la característica de fuerza particular.
OK, hice mi mejor esfuerzo aquí. Te aferras a tus confusiones por tu vida. Es una pena que parezca que se están extendiendo.
Usted muestra cómo construir nuevas cantidades conservadas a partir de las antiguas, y entiendo que no se requieren simetrías para explicar esa conservación. Sin embargo, pregunté si se pueden derivar simetrías que luego, por el teorema de Noethers, expliquen la conservación.