Si un sistema tiene
grados de libertad (DOF) y por lo tanto
independientes 1 cantidades conservadas integrales de movimiento, pueden simetrías continuas con un total de
se encuentran los parámetros que entregan estas cantidades conservadas por medio del teorema de Noether ? Creo que esto no es exactamente lo contrario del teorema de Noether, ya que no pregunto si para cada cantidad conservada se puede recuperar una simetría, pregunto sobre una conexión entre todo el conjunto de cantidades conservadas y simetrías.
1) o , o , dependiendo de la definición y los detalles que son irrelevantes aquí. Pero permítanme ampliarlo de todos modos... Considero que la cantidad de grados de libertad es igual a la cantidad de condiciones iniciales requeridas para describir completamente un sistema en Mecánica Clásica. Eso significa que las velocidades (o momentos) se consideran DOF individuales, y no que cada par de coordenadas + velocidad formen solo un DOF. El tiempo no es DOF sin embargo, es un parámetro . Discuta esto en esta pregunta si no está de acuerdo.
Ya hay varias buenas respuestas. Sin embargo, el aspecto fuera de la cáscara relacionado con el Teorema de Noether no se ha abordado hasta ahora. (Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de movimiento (eom) se cumplen o no). Reformulemos el problema de la siguiente manera.
Considere un sistema hamiltoniano (no necesariamente aislado) con grados de libertad (dof). El espacio de fases tiene coordenadas, que denotamos .
(No tendremos nada que decir sobre el problema lagrangiano correspondiente.)
Estructura simpléctica. Por lo general, trabajamos en coordenadas de Darboux.
, con el potencial simpléctico canónico de una forma
Acción. La acción hamiltoniana lee
Constantes de movimiento. La solución
Ahora deja
ser com independiente (definido localmente), que hemos argumentado anteriormente debe existir. La pregunta del título de OP en esta formulación se convierte en si existe simetrías fuera de la cáscara de la acción (definida localmente) , tal que las corrientes de Noether correspondientes son com en el caparazón?
Observación. Debe enfatizarse que una simetría en el caparazón es una noción vacía, porque si variamos la acción y aplicar eom, entonces se desvanece por definición (términos de límite de módulo), independientemente de cuál sea la variación consiste en. Por esta razón, a menudo acortamos la simetría fuera del caparazón a simetría . Por otro lado, cuando hablamos de com, siempre asumimos eom
Cambio de coordenadas. Desde la acción es invariante bajo el cambio de coordenadas, simplemente podemos cambiar las coordenadas hacia com, y use el 's como coordenadas (que simplemente llamaremos de aquí en adelante). Entonces los eom en estas coordenadas son solo
Variación. Ahora realizamos una variación infinitesimal ,
Entonces, la respuesta a la pregunta del título de OP es Sí en el caso hamiltoniano.
Ver también, por ejemplo , esto , esto y esto relacionados Phys.SE publicaciones.
Sí, esto es lo opuesto al teorema de Noether. Así que llamemos a nuestra cantidad conservada (consideraremos solo una cantidad conservada para empezar) y comenzaremos con ley para la conservación. Debido a la conexión entre el soporte de Poisson con los flujos en el espacio de fase, esto les dice a ambos que = 0 ( se conserva en la evolución del tiempo) y (El hamiltoniano se conserva bajo simetría que tiene campo fundamental ) siempre que los campos de vectores asociados a las funciones en el espacio de fase como no son degenerados en cierto sentido. Tenga en cuenta que elevar El operador se define obviamente usando la forma simpléctica inversa . Esto, por ejemplo, significa que, por ejemplo, las constantes genuinas (que ciertamente también son constantes de movimiento) no funcionarán porque y obtenemos campo vectorial cero.
Por otro lado, siempre que todas las cantidades conservadas no sean degeneradas, siempre podemos encontrar los flujos de simetría asociados mediante la integración de los campos vectoriales mencionados anteriormente. Pero tenga en cuenta que lo que recibimos al final son simetrías del espacio de fase . Si estos también están directamente relacionados con alguna simetría del espacio de posición subyacente (es decir, si existe tal espacio; en general, no es necesario que lo haya, pero en las aplicaciones habituales tomamos el espacio de fase de la variedad de posición como el paquete cotangente ) es una pregunta para una mayor investigación. Intentaré investigarlo más tarde, si encuentro algo de tiempo.
Comenzaré con algunas sutilezas terminológicas, que deben tenerse en cuenta, cuando se trata de "cantidades conservadas" o "integrales de movimiento".
En primer lugar, es importante establecer de qué variables pueden depender las cantidades. En el campo de las ecuaciones diferenciales , la dinámica hamiltoniana y los sistemas dinámicos , una cantidad conservada, por definición, no depende explícitamente del tiempo; por lo general, es una función, definida en un espacio (una variedad), que describe completamente el estado de su sistema ( utiliza todos los grados de libertad tal como los ha definido).
Otra cosa a tener en cuenta: parece posible tomar una función de una constante de movimiento y, por lo tanto, llegar a otra cantidad que sea constante y, por lo tanto, producir cualquier cantidad de constantes de movimiento. Entonces hay una condición implícita para la independencia funcional entre esos constantes de movimiento. Lo cual se puede formular como la desaparición de los corchetes de Poisson entre cualquier par de cantidades. Aquí está la referencia al respecto en Wikipedia, también hice una pregunta al respecto hace algún tiempo ...
Así que creo que su declaración implícita:
Si un sistema tiene N grados de libertad (DOF) y por lo tanto N cantidades independientes conservadas
No es del todo correcto, si se tiene en cuenta lo dicho sobre la noción de "cantidad conservada".
Con respecto a su pregunta sobre cómo encontrar la transformación de simetría, que corresponde a la cantidad, he abordado el problema en esta pregunta .
Brevemente -- dado un "generador" y alguna cantidad . La pequeña transformación, generada por es:
Poniendo , y notando que, si es una constante de movimiento, entonces . Inmediatamente se llega a la conclusión de que la transformación, generada por es la transformación de simetría. (Algunos ejemplos están aquí .)
Querido Tobias, todo es mucho más simple: las ecuaciones son restricciones al posible movimiento del sistema y ellas mismas proporcionan cantidades conservadas. Puede llamar a estas ecuaciones "restricciones" o "requisito de simetría", si lo desea, pero son condiciones necesarias y suficientes para tener cantidades conservadas (= soluciones).
Consideremos una EDO: con algunos datos iniciales . Después de resolver esta ecuación, obtienes una solución que se puede convertir en una forma implícita como esta: . Por otro lado, esta forma implícita de solución es una ley de conservación: una combinación de la variable del problema y el tiempo no depende del tiempo.
Ahora diferencio esta solución implícita y obtengo: . Es una expresión de conservar algo, ¿no? Por otro lado, debe coincidir o ser equivalente a la ecuación original . Ahora entiendes que las ecuaciones son requisitos necesarios y suficientes para tener cantidades conservadas . Estos últimos son en gran medida sinónimos de soluciones .
EDITAR: No hay necesidad en ninguna simetría de tener cantidades conservadas. Solo ecuaciones. Las simetrías simplifican el aspecto de las cantidades conservadas (soluciones). Considere un movimiento 1D de una partícula en una fuerza externa dependiente del tiempo. La energía y el impulso no se conservan, pero todavía hay dos "leyes" de conservación.
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Tobias Kienzler
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