¿La conservación de la energía implica la conservación de la masa?

En la mecánica clásica la masa se conserva, la conservación de la masa no es válida en la física relativista a menos que se considere la llamada "masa invariante" de un sistema cerrado. La suma de las masas de las partículas puede cambiar debido a las interacciones. En mecánica clásica esta suma de masas se conserva y esto se sigue de la conservación de la energía.

Si tenemos un estado inicial de$N$partículas libres y un estado final de$M$partículas libres entonces la energía total se conserva. Entonces tenemos:

$$\sum_{j=1}^{N}m_j v_j^2 = \sum_{j=1}^{M}m'_j w_j^{2}$$

donde el$v_j$y$m_j$son las velocidades y masas iniciales, mientras que las$w_j$y$m'_j$son las velocidades y masas finales. Las partículas, que son partículas libres, solo tienen una energía cinética, pero esta sigue siendo una declaración completamente general porque en la etapa intermedia pueden haber tenido lugar interacciones arbitrarias. Entonces solo estamos despreciando la radiación que escapa del sistema (tenga en cuenta que la radiación es un fenómeno extremadamente relativista).

Luego suponga que se observa exactamente el mismo proceso en otro marco que se mueve con velocidad$\vec{u}$en relación con el marco original. De acuerdo con la invariancia galileana, también tenemos conservación de la energía en este nuevo marco, por lo tanto:

$$\sum_{j=1}^{N}m_j (\vec{v}_j-\vec{u})^2 = \sum_{j=1}^{M}m'_j (\vec{w_j}-\vec{u})^{2}$$

Desarrollando el cuadrado de cada término:

$$(\vec{v}_j-\vec{u})^2 = v_j^2 - 2\vec{v}_j\cdot\vec{u} + u^2$$

en ambos lados, y usando eso$\vec{u}$es arbitrario, produce la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la masa.