Campo eléctrico debido a una placa rectangular FINITA uniformemente cargada

Question

Campo eléctrico debido a una placa rectangular FINITA uniformemente cargada

El diablillo

Estaba enseñando a los niños cómo encontrar un campo eléctrico usando el principio de superposición para distribuciones de carga continua. Pensé que tal vez debería derivar la fórmula para el campo eléctrico debido a una hoja rectangular finita de carga en la superficie $S$ , dónde

S = {(X, y, z) \in R^{3} ∣ - a / 2 < X < + a / 2; - b / 2 < y < + b / 2; z = 0} .

$S = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid -a/2< x < +a/2; -b/2< y < +b/2 ; z = 0 \right\} .$ Sin embargo, me quedé atascado en la siguiente integración.

mi (0, 0, r) = \frac{σ r}{4 π ϵ_{o}} \int_{X = - a / 2}^{X = + a / 2} \int_{y = - b / 2}^{y = + b / 2} \frac{d X d y}{(X^{2} + y^{2} + r^{2})^{3 / 2}},

$E(0,0,r) = \frac{\sigma r}{4\pi\epsilon_o} \int_{x=-a/2}^{x=+a/2}\int_{y=-b/2}^{y=+b/2} \frac{dx dy}{(x^2+y^2+r^2)^{3/2}},$ dónde

σ

$\sigma$ es la densidad de carga superficial.

Nota: Esta integración se puede hacer si $a$ o $b$ o ambos son muy grandes, es decir $\infty$ en cuyo caso obtenemos el resultado habitual de $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}$

Entonces mi pregunta es, ¿Se puede calcular esta integral? Si no, ¿qué método usaría para encontrar el campo eléctrico en este caso? También sería genial si alguien puede comentar sobre cómo encontrar el campo eléctrico resolviendo directamente la ecuación de Poisson.

En consecuencia, si tomamos el caso de un disco finito, la siguiente es la integración resultante.

mi = \frac{σ r}{2 ϵ_{o}} \int_{ξ = 0}^{ξ = R} \frac{ξ d ξ}{(ξ^{2} + r^{2})^{3 / 2}}

$E = \frac{\sigma r}{2\epsilon_o} \int_{\xi=0}^{\xi=R} \frac{\xi d\xi}{(\xi^2+r^2)^{3/2}}$

que se puede resolver como

mi = \frac{σ}{2 ϵ_{o}} (1 - \frac{r}{\sqrt{r^{2} + R^{2}}})

$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_o} \left(1- \frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)$

Ahora tomando el límite $R \rightarrow \infty$ podemos mostrar que $E \rightarrow \frac{\sigma}{2\epsilon_o}$ .

Respuestas (4)

Campo eléctrico debido a una placa rectangular FINITA uniformemente cargada

Javier · Answer 1

Las integrales son difíciles pero no imposibles, a menos que haya cometido un error con WolframAlpha. El resultado es:

mi = \frac{σ}{π ϵ_{0}} arcán (\frac{a b}{4 r \sqrt{(a / 2)^{2} + (b / 2)^{2} + r^{2}}})

$E = \frac{\sigma}{\pi \epsilon_0} \arctan\left( \frac{ab}{4r\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2+r^2}} \right)$

Cuando $a,b \to \infty$ toda la arcotangente va a $\pi/2$ y nos recuperamos $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ , lo que definitivamente es alentador.

Y no sé a qué te refieres con "resolver directamente la ecuación de Poisson". Hasta donde yo sé, la forma habitual de hacerlo es utilizar las funciones de Green, es decir, esta integral.

muchas gracias. Me di cuenta de que esta integración es realmente solucionable y también es muy sencilla. gracias de nuevo.
@The Imp esto fue hace un tiempo, pero ¿puede dar una breve descripción de cómo se realizó la integración al final? Por el momento, parece haber algunos métodos diferentes flotando en otras respuestas a su pregunta original

Raja Asiwal · Answer 2

poner inicialmente $x^2 + r^2 = p^2$

entonces $y = p(\tan(A))$

resolverlo, será en términos en términos de $x$ . y sustituir $\frac{r(\tan(B))}{b} = \frac{x}{\sqrt{4x^2 + 4r^2 + b^2}}$ resolverlo obtendrá respuesta fácilmente.

¡Hola, bienvenido a Physics SE! No publique fórmulas como imágenes o texto sin formato, sino que use MathJax en su lugar. MathJax es fácil de leer para las personas en todos los dispositivos y puede mostrarse más claro en diferentes tamaños y resoluciones de pantalla. Lo he editado aquí como ejemplo. Mire esta meta publicación de Math SE para obtener un tutorial rápido.

Pruthvi · Answer 3

En realidad esta integral se puede resolver por el método de sustituciones polares. x=rcos(A) y y=rsin(A) donde r es la distancia y A el ángulo en el plano polar. Puede encontrar más detalles en Thomas Calculus. Asegúrese de sustituir los límites correctamente y multiplique la integral por el jacobiano, que en este caso es r. Espero que esta respuesta te haya ayudado.

¿Te das cuenta de que la integración es sobre un cuadrado? Las coordenadas polares harían este camino más difícil de lo que tiene que ser. Tenga en cuenta también que en el caso de un disco, OP usó coordenadas polares y pudo hacer el cálculo. Y, por último, ¿por qué tanta gente responde a preguntas de hace años que ya tienen respuestas perfectamente aceptables y aceptadas?

Ali Moh · Answer 4

Esta integral no se puede resolver en términos de funciones elementales. Puedes hacer fácilmente una expansión en $\frac{1}{r}$ en el integrando después de hacer una de las integraciones, luego haciendo la segunda integral después de expandir obtienes

\frac{a b}{r^{2}} (1 - \frac{a^{2} + b^{2}}{12 r^{2}} + O (\frac{1}{r^{4}}))

$\frac{ab}{r^2}\left(1 - \frac{a^2+b^2}{12 r^2} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r^4}\right)\right)$ Si desea resolver la ecuación de Poisson, debe usar el método de la función de Green porque tiene una distribución de carga (a diferencia de cuando solo tiene la ecuación de Laplace con condiciones de contorno y solo puede usar la separación de variables), esto lo llevará de regreso a esta integral.

Nota: esta serie converge si está interesado en la región $r>\text{max }\left(a,b \right)$

Nota: esto es básicamente la expansión multipolar, donde el primer término es la contribución del monopolo, el segundo es el cuadrupolo, etc... (todos los multipolos impares desaparecen debido a la simetría)

Campo eléctrico debido a una placa rectangular FINITA uniformemente cargada

El diablillo

Respuestas (4)

Javier

El diablillo

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