Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

Question

Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

único

Tener una carga puntual y un dipolo perfecto. $\vec{p}$ una distancia $r$ lejos. Ángulo entre $\vec{p}$ y $\hat{r}$ es $\theta$ . Quiere encontrar la fuerza en el dipolo.

Estoy teniendo más que un poco de dificultad para identificar dónde me estoy equivocando. Si hago este problema en coordenadas cartesianas, obtengo la respuesta correcta, por lo que aparentemente no estoy entendiendo algo sobre las coordenadas esféricas.

Tenemos $F = q\Delta E$ para dipolos en un campo eléctrico no uniforme. Si $d$ en dipolo es pequeño, entonces puedo usar

Δ mi \approx \nabla mi \cdot Δ \vec{r}

$\Delta E \approx \nabla E \cdot \Delta\vec{r}$

A continuación derivo la expresión en coordenadas esféricas.

Entonces, en primer lugar,

mi = \frac{q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} \hat{r}

$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \hat{r}$

Entonces

{mi}_{r} = \frac{q}{4 π ϵ_{0} r^{2}}

$E_r = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

y

Δ {mi}_{r} = \nabla {mi}_{r} \cdot Δ \vec{r}

$\Delta E_r = \nabla E_r \cdot \Delta \vec{r}$

dónde $\Delta \vec{r} = \bigl(\Delta r, r\Delta \theta, r\sin\theta\Delta \phi \bigr)$ .

\nabla {mi}_{r} = (\frac{- 2 q}{4 π ϵ_{0} r^{3}}, 0, 0)

$\nabla E_r = \biggl(\frac{-2q}{4 \pi \epsilon_0 r^3},0,0\biggr)$

Por lo tanto,

q Δ {mi}_{r} = \frac{- 2 q pag porque θ}{4 π ϵ_{0} r^{3}}

$q\Delta E_r = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$

y

Δ {mi}_{θ} = Δ {mi}_{ϕ} = 0

$\Delta E_{\theta} = \Delta E_{\phi} = 0$

como $E_{\theta} = E_{\phi} = 0$ .

Entonces

F = q Δ {mi}_{r} = \frac{- 2 q pag porque θ}{4 π ϵ_{0} r^{3}} \hat{r}

$F = q\Delta E_r = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{r}$

pero debería ser

F = \frac{- 2 q pag porque θ}{4 π ϵ_{0} r^{3}} \hat{r} - \frac{q pag pecado θ}{4 π ϵ_{0} r^{3}} \hat{θ}

$F = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{r} - \frac{qp\sin\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{\theta}$

Entonces $\Delta E_{\theta}$ debe ser distinto de cero, pero no veo cómo.

yohBS

La fórmula general para la fuerza es, como dijiste correctamente

F = q Δ E

$F=q\Delta E$ , que se escribe convenientemente en forma geométrica como el producto escalar

\vec{F} = \vec{\nabla} \vec{mi} \cdot q Δ \vec{r} = \vec{\nabla} \vec{mi} \cdot \vec{PAG}

$\vec F=\vec\nabla\vec E \cdot q\Delta\vec r =\vec \nabla\vec E \cdot\vec P$ Tenga en cuenta que

\vec{\nabla} \vec{E}

$\vec\nabla\vec E$ es una matriz. Sin embargo, cuando trabaja en cualquier otro sistema de coordenadas, el gradiente

\vec{\nabla}

$\vec \nabla$ ya no son las expresiones simples a las que estás acostumbrado. Puedes derivar la fórmula para ello diferenciando la expresión

\vec{mi} = {mi}_{r} \hat{r} + {mi}_{ϕ} \hat{ϕ} + {mi}_{θ} \hat{θ}

$\vec E=E_r\hat r+E_\phi \hat \phi+E_\theta\hat\theta$ y recordando que los vectores unitarios también dependen del espacio.

Respuestas (1)

Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

La fórmula general para la fuerza es, como dijiste correctamente $F=q\Delta E$ , que se escribe convenientemente en forma geométrica como el producto escalar $\vec{F} = \vec{\nabla} \vec{mi} \cdot q Δ \vec{r} = \vec{\nabla} \vec{mi} \cdot \vec{PAG}$ $\vec F=\vec\nabla\vec E \cdot q\Delta\vec r =\vec \nabla\vec E \cdot\vec P$ Tenga en cuenta que $\vec\nabla\vec E$ es una matriz. Sin embargo, cuando trabaja en cualquier otro sistema de coordenadas, el gradiente $\vec \nabla$ ya no son las expresiones simples a las que estás acostumbrado. Puedes derivar la fórmula para ello diferenciando la expresión $\vec{mi} = {mi}_{r} \hat{r} + {mi}_{ϕ} \hat{ϕ} + {mi}_{θ} \hat{θ}$ $\vec E=E_r\hat r+E_\phi \hat \phi+E_\theta\hat\theta$ y recordando que los vectores unitarios también dependen del espacio.

Maksim Zholudev · Answer 1

La fuerza aplicada a un dipolo puntual con momento dipolar $\vec{p}$ es

\vec{F} = (\vec{pag} \cdot \vec{\nabla}) \vec{mi}

$\vec{F} = (\vec{p} \cdot \vec\nabla) \vec{E}$ En coordenadas cartesianas que es

F_{i} = \sum_{j} {pag}_{j} \frac{\partial}{\partial X_{j}} {mi}_{i}

$F_i = \sum_j p_j \frac{\partial}{\partial x_j} E_i$ Pero en coordenadas esféricas no es lo mismo.

No hay componentes de campo a lo largo $\vec{\theta}$ , pero hay un gradiente de componentes de campo a lo largo de esta dirección ya que la dirección del vector cambia.

Para convertir esta expresión a coordenadas esféricas, se debe usar el análisis tensorial.

En todas las expresiones siguientes se asume la suma sobre índices repetidos.

T_{t}^{j i} = {pag}^{j} \frac{\partial}{\partial X^{t}} {mi}^{i}

$T^{\;ji}_t = p^j \frac{\partial}{\partial x^t} E^i$

F^{i} = T_{t}^{j i} d_{j}^{t}

$F^{\;i} = T^{\;ji}_t \delta^t_j$ Sean las coordenadas cartesianas

x^{1}, x^{2}, x^{3}

$x^1, x^2, x^3$ y las coordenadas esféricas sean

y^{1}, y^{2}, y^{3}

$y^1, y^2, y^3$ , entonces

T_{t^{'}}^{' j^{'} i^{'}} (y) = \frac{\partial y^{j^{'}}}{\partial X^{j}} \frac{\partial y^{i^{'}}}{\partial X^{i}} \frac{\partial X^{t}}{\partial y^{t^{'}}} T_{t}^{j i} (X (y))

$T{\,}'^{j'i'}_{t'}(y) = \frac{\partial y^{j'}}{\partial x^j} \frac{\partial y^{i'}}{\partial x^i} \frac{\partial x^t}{\partial y^{t'}} T^{\;ji}_{t}\bigl(x(y)\bigr)$

Se debe calcular la fuerza en coordenadas esféricas como

F^{i} = T_{t}^{' j i} (y) d_{j}^{t} (correcto)

$F^{\,i} = T{\,}'^{ji}_{t}(y) \delta^t_j \quad \text{(correct)}$ mientras que ha utilizado el tensor sin prima, es decir

F^{i} = T_{t}^{j i} (y) d_{j}^{t} (equivocado)

$F^{\,i} = T{\,}^{ji}_{t}(y) \delta^t_j \quad \text{(wrong)}$

Su respuesta es correcta, pero en la práctica para su problema, creo que la solución en el comentario es más rápida. En su solución general, debe tener todas las derivadas de las coordenadas esféricas con respecto a las cartesianas y recíprocamente, lo cual no es fácil, ¡o al menos rápido!

Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

único

yohBS

Respuestas (1)

Maksim Zholudev

señorbrody

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