¿Cómo aplico la ley de Gauss a cilindros conductores coaxiales?

Question

¿Cómo aplico la ley de Gauss a cilindros conductores coaxiales?

estudiando para la física ahora mismo

| \vec{mi} | = \frac{λ}{2 π ε_{0} r}

$\vert \vec E\vert =\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$ Entonces sé que esta es la magnitud del campo eléctrico de una línea de carga usando una superficie cilíndrica gaussiana. Pero, ahora digamos que tengo dos cilindros conductores de metal coaxial, uno con el radio del cilindro interior

a

$a$ que tiene carga positiva, y el cilindro exterior con un radio mayor

b

$b$ que podemos decir que está cargado negativamente. Mi objetivo es encontrar el campo eléctrico a distancia.

a > r > b

$a > r > b$ .

Ahora sé que la densidad de carga $\lambda$ = (Carga)/(Longitud del cable) en la fórmula de la línea de carga, que es cómo la longitud se cancela del denominador. Pero cuando introduzco el cilindro interior con radio $a$ , ¿cómo ajusto esta fórmula para tener en cuenta el hecho de que ahora tengo un cilindro conductor interno con cierto radio? ¿La porción de longitud de la densidad de carga tiene que cambiar a algo que represente el área del cilindro interior?

Una parte de mí piensa que la fórmula podría ser la misma porque, si el campo eléctrico simplemente se dispara radialmente hacia afuera desde el cilindro interior, entonces el radio no importa. ¿Es ese el caso? ¿O debo tener en cuenta el tamaño de este cilindro interior?

Sidarth

Te ayudaría si no comienzas a resolver el problema con la respuesta en mente. Utilice la ley de Gauss de nuevo, sin preocuparse por la cancelación. Si tiene un cilindro, tome un cilindro gaussiano de longitud L a su alrededor. Puede encontrar fácilmente la carga en el interior. El campo eléctrico seguirá siendo radial (¿qué más podría permitirse que sea?) y el producto escalar se convierte en una multiplicación normal. Luego las cosas de siempre. Solo recuerde que siempre toma solo el cargo adjunto .

Respuestas (3)

¿Cómo aplico la ley de Gauss a cilindros conductores coaxiales?

Te ayudaría si no comienzas a resolver el problema con la respuesta en mente. Utilice la ley de Gauss de nuevo, sin preocuparse por la cancelación. Si tiene un cilindro, tome un cilindro gaussiano de longitud L a su alrededor. Puede encontrar fácilmente la carga en el interior. El campo eléctrico seguirá siendo radial (¿qué más podría permitirse que sea?) y el producto escalar se convierte en una multiplicación normal. Luego las cosas de siempre. Solo recuerde que siempre toma solo el cargo adjunto .

ZeroTheHero · Answer 1

Creo que la siguiente figura muestra algo parecido a la geometría que tienes en mente: esta es una vista transversal de un cilindro infinitamente largo, con un cilindro interior sólido de radio $a$ coaxial con un cilindro hueco de radio interior $b$ .

El punto clave a observar es que un cilindro gaussiano de radio $a<r<b$ sólo encerrará la carga del cilindro sólido interior. Por lo tanto, mientras $a<r<b$ , el $\vec E$ será la del cilindro interior solo. Cuando $r$ va más alla $b$ y encierra parte o toda la carga del cilindro hueco exterior, la geometría no cambiará pero la carga neta encerrada se reducirá, por lo que el campo se reducirá en consecuencia. Si el cilindro hueco exterior tiene la misma carga por unidad de longitud que el interior sólido, entonces la carga neta encerrada por $r>c$ será $0$ y el campo será así $0$ fuera del arreglo.

[Crédito de la figura: modificado de Young and Freedman's University Physics]

usuario46899 · Answer 2

La respuesta debería ser la misma para el condensador cilíndrico con un radio interior $a$ y radio exterior $b$ .

Para todos $a < r < b$ , la respuesta del campo eléctrico para el cilindro será igual a

mi = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r}

$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$

Dónde $\lambda$ es el cargo por longitud.

Entonces, ¿la ecuación es la misma porque puedo dibujar la misma superficie gaussiana alrededor del cilindro interior como lo haría con una línea de carga?
Sí. Similar a cómo el campo de la esfera hueca es cero dentro de la esfera, el campo del cilindro hueco es cero dentro del cilindro. El campo solo dependerá de las cargas internas, es decir, en este caso, un cilindro sólido de radio a. @estudiandoparafísicaahora

FGSUZ · Answer 3

Sí, esas son las maravillas de la simetría.

La ley de Gauss solo necesita "carga dentro de la superficie". No importa cómo se distribuya esa carga: tanto una línea como un cilindro producen el mismo flujo, sin importar cómo se distribuya la carga.
Pero, la distribución es importante si buscas el campo eléctrico. NUNCA olvides que la ley de Gauss habla del flujo eléctrico. El flujo no varía si hay un alambre o un cilindro. Sin embargo, si desea extraer el campo eléctrico del flujo, necesita que la distribución sea simétrica. En este caso, es correctamente simétrica, por lo que el campo eléctrico tiene el mismo valor en toda la superficie.

Por eso, un cilindro se comporta como si todo el cambio estuviera en la línea central. Lo mismo con las esferas: se puede considerar que toda la carga está en el centro. Esto no se aplica si la distribución no es uniforme.

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ZeroTheHero

usuario46899

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FGSUZ

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