Usando el método de cargas de imagen para encontrar el campo eléctrico

En una región del espacio, un campo es causado por cargas presentes o por tener condiciones de contorno específicas.

En este caso, en la segunda región, no tiene carga y el potencial es cero en los límites, por lo que una respuesta es no tener campo y, de acuerdo con el teorema de unicidad, es la (única) solución.

Bueno, las otras dos regiones están protegidas de la carga dada por conductores perfectos. Estos protegen el campo eléctrico y es cero más allá de ellos.

Un poco más riguroso, digamos que estás en el segundo cuadrante ($x<0$,$y>0$). Por supuesto, la carga de imagen en$(-a,b)$no está presente, pero eso no significa que su efecto no lo esté. La carga de la imagen es en realidad una buena representación de la carga superficial inducida por su carga original en$(a,b)$en el plano conductor vertical. Esta carga superficial parece (es indistinguible de) una carga puntual de una longitud$a$detrás del plano conductor, por lo que en el primer cuadrante parece una carga negativa en$(-a,b)$, pero en el segundo cuadrante se asienta sobre la carga original y la cancela.

Algo similar sucede (debe suceder) con las cargas de imagen en el tercer y cuarto cuadrante. el de$(a,-b)$es una representación de una carga superficial centrada alrededor$(a,0)$, y por lo tanto parece la misma carga de imagen en$(a,-b)$visto desde el segundo cuadrante. Esto se cancela en el segundo cuadrante por una carga superficial alrededor del origen, en el positivo$x$y$y$ejes, que está representado (desde el primer cuadrante) por la imagen de carga del tercer cuadrante. Dado que el campo total debe cancelarse, esta tercera carga inducida debe verse (desde el segundo cuadrante) como una carga positiva ubicada en$(a,-b)$, aunque no conozco una explicación simple para esto.

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Permítanme ampliar esto un poco para explicar cómo se encuentran estas cargas superficiales. Considere una carga positiva sentada a una distancia$d>0$sobre un solo plano conductor:

Para mayor comodidad, establezca la carga en$x=y=0$. Entonces sabes que el potencial electrostático parece

$$\phi(x,y,z)=\left\{ \begin{array} \quad \\ \frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}-\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}}\quad\text{ if }z>0, \\ 0\quad\text{ if }z<0. \end{array} \right.$$ El potencial es cero y continuo en la frontera, pero su gradiente, el campo eléctrico, no lo es. Esta discontinuidad en el campo eléctrico se debe a la carga superficial negativa inducida en el conductor, y esa carga superficial se puede encontrar a partir de la discontinuidad usando la Ley de Gauss en su forma límite, $$\hat{\mathbf n}\cdot\left({\mathbf E}_\uparrow-{\mathbf E}_\downarrow\right)= \frac{1}{2\epsilon_0}\sigma$$ dónde $\hat{\mathbf n}$es la unidad hacia arriba normal a la superficie, ${\mathbf E}_{\uparrow \left(\downarrow\right)}$es el campo eléctrico justo encima (debajo) de la superficie, y $\sigma$es la densidad de carga superficial.

Te dejaré las matemáticas a ti ;).