Campo eléctrico en el espacio creado por la intersección de esferas de carga [cerrado]

Question

Campo eléctrico en el espacio creado por la intersección de esferas de carga [cerrado]

jontrav

Estoy tratando de calcular el campo eléctrico en el espacio creado por un cuerpo ensamblado por la intersección de 2 esferas. La esfera superior, su centro está en

\frac{d}{2} \hat{z}

$\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}$ con radio

R

$R$ y el segundo está centrado en

- \frac{d}{2} \hat{z}

$-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}$ con radio

R

$R$ . La región de intersección es neutra, mientras que la región superior está cargada con densidad constante

ρ

$\rho$ y la región inferior está cargada de densidad

- ρ

$-\rho$ .

Calculé el volumen de la región de intersección,

V = \frac{π}{12} (dieciséis R^{3} - 4 R^{2} d - d^{3})

$V=\frac{\pi}{12}(16R^3 -4R^2d-d^3)$ , lo cual tiene sentido porque si

d \to 0

$d\rightarrow 0$ (las esferas coinciden) entonces

V \approx \frac{π}{12} \cdot dieciséis R^{3} = \frac{4 π R^{3}}{3}

$V\approx \frac{\pi}{12}\cdot 16R^3=\frac{4\pi R^3}{3}$ que es el volumen de una sola esfera.

Luego traté la carga de cada esfera como superposición de una esfera completa cargada con $\rho$ (o $-\rho$ respectivamente) y la región de intersección con la carga opuesta.

Como era de esperar, la carga total de la región inferior es opuesta a la carga total de la región superior, es decir

q_{1} = ρ \cdot \frac{4}{3} π (R^{2} d + \frac{d^{3}}{4}), q_{2} = - ρ \cdot \frac{4}{3} π (R^{2} d + \frac{d^{3}}{4})

$q_1 = \rho\cdot \frac{4}{3}\pi(R^2d+\frac{d^3}{4}), q_2 =-\rho\cdot \frac{4}{3}\pi(R^2d+\frac{d^3}{4})$ .

Luego, nuevamente, usé la superposición para calcular el campo en todas partes del espacio:

Dentro de la región de intersección: utilicé la fórmula de un campo creado dentro de una esfera cargada y descubrí que
${\vec{mi}}_{i norte} (PAG) = \frac{k q_{1} ({\vec{r}}_{pag} - \frac{d}{2} \hat{z})}{R^{3}} - \frac{k q_{1} ({\vec{r}}_{pag} + \frac{d}{2} \hat{z})}{R^{3}} = - \frac{k q_{1} d}{R^{3}} \hat{z} = \frac{- d ρ}{12 ε_{0}} (\frac{d}{R} + \frac{d^{3}}{4 R^{3}}) \hat{z}$ $\vec{E}_{in}(P)=\frac{kq_1(\vec{r}_p-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}})}{R^3}-\frac{kq_1(\vec{r}_p+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}})}{R^3}=-\frac{kq_1d}{R^3}\mathbf{\hat{z}}=\frac{-d\rho}{12\varepsilon_0}(\frac{d}{R}+\frac{d^3}{4R^3})\mathbf{\hat{z}}$
Dentro de la región cargada superior: Usé la misma fórmula para un campo dentro de una esfera cargada, más el hecho de que el campo que induce una esfera fuera de su región es como una carga puntual. Después del cálculo obtuve eso.
${\vec{mi}}_{i norte +} (PAG) = \frac{d ρ}{12 ε_{0}} (\frac{d}{R} + \frac{d^{3}}{4 R^{3}}) ({\vec{r}}_{PAG} - \frac{d}{2} \hat{z} - R^{3} \frac{{\vec{r}}_{PAG} + \frac{d}{2} \hat{z}}{| {\vec{r}}_{PAG} + \frac{d}{2} \hat{z} |^{3}})$ $\vec{E}_{in+}(P)=\frac{d\rho}{12\varepsilon_0}(\frac{d}{R}+\frac{d^3}{4R^3})(\vec{r}_P-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}-R^3\frac{\vec{r}_P+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}}{|\vec{r}_P+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}|^3})$ .
Dentro de la región de menor carga: las mismas razones, obtuve:
${\vec{mi}}_{i norte -} (PAG) = \frac{d ρ}{12 ε_{0}} (\frac{d}{R} + \frac{d^{3}}{4 R^{3}}) ({\vec{r}}_{PAG} + \frac{d}{2} \hat{z} - R^{3} \frac{{\vec{r}}_{PAG} - \frac{d}{2} \hat{z}}{| {\vec{r}}_{PAG} - \frac{d}{2} \hat{z} |^{3}})$ $\vec{E}_{in-}(P)=\frac{d\rho}{12\varepsilon_0}(\frac{d}{R}+\frac{d^3}{4R^3})(\vec{r}_P+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}-R^3\frac{\vec{r}_P-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}}{|\vec{r}_P-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}|^3})$
Afuera: uso el hecho de que ambas esferas actúan como una carga puntual y obtuve:
$\frac{ρ}{12 ε_{0}} (R^{2} d + \frac{d^{3}}{4}) (\frac{{\vec{r}}_{PAG} - \frac{d}{2} \hat{z}}{| {\vec{r}}_{PAG} - \frac{d}{2} \hat{z} |^{3}} - \frac{{\vec{r}}_{PAG} + \frac{d}{2} \hat{z}}{| {\vec{r}}_{PAG} + \frac{d}{2} \hat{z} |^{3}})$ $\frac{\rho}{12\varepsilon_0}(R^2d+\frac{d^3}{4})(\frac{\vec{r}_P-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}}{|\vec{r}_P-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}|^3}-\frac{\vec{r}_P+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}}{|\vec{r}_P+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}}|^3})$

Mi pregunta es, ¿está bien?

Y también, se supone que debo escribir una expresión para el campo fuera del cuerpo en el límite que $R>>d$ , pero parece que no puedo obtener la intuición del resultado que se supone que debo obtener.

Anubhav Goel

Physics Stack Exchange no es una ayuda con la tarea para revisar mi sitio de preguntas; pero, si desea ese tipo de ayuda, puede consultar este hilo para obtener una lista de recursos gratuitos de ayuda con la tarea en línea .

Respuestas (1)

Campo eléctrico en el espacio creado por la intersección de esferas de carga [cerrado]

Physics Stack Exchange no es una ayuda con la tarea para revisar mi sitio de preguntas; pero, si desea ese tipo de ayuda, puede consultar este hilo para obtener una lista de recursos gratuitos de ayuda con la tarea en línea .

monostío · Answer 1

Primero, cuando encontraste tu volumen, parece que te perdiste una señal. En mi última integración sobre $\phi$ , Tuve

\frac{4 π}{3} \int_{0}^{ϕ} d ϕ R^{3} pecado ϕ - \frac{d^{3} pecado ϕ}{8 {porque}^{3} ϕ} \Rightarrow

$\frac{4\pi}{3}\int^{\phi}_{0}d\phi R^3\sin\phi-\frac{d^3\sin\phi}{8\cos^3\phi}\Rightarrow$

\frac{4 π}{3} {[- R^{3} porque ϕ - \frac{d^{3}}{dieciséis {porque}^{2} ϕ}]}_{0}^{porque ϕ = \frac{d}{2 R}} .

$\frac{4\pi}{3}\left[ -R^3\cos\phi - \frac{d^3}{16\cos^2\phi}\right]_0^{\cos\phi=\frac{d}{2R}}.$ Si cambia el signo en el segundo término, parece que aparece la respuesta que obtuvo.

En segundo lugar, en realidad te has hecho el problema muy difícil al hacer un mal uso del principio de superposición. Si superpone dos densidades de carga opuestas una encima de la otra, los campos eléctricos creados por ellas se cancelan naturalmente y se crea una situación equivalente a que no hay carga en la región.

El problema en tu derivación es que mezclas los estados superpuestos y el estado final. Por ejemplo, mira la carga que calculas fuera de las dos esferas. Usas la fórmula para el campo eléctrico fuera de una esfera perfectamente uniforme, $\vec{E}=\frac{q}{\epsilon_0r^2}$ . Pero luego tomas $q=\rho V$ y para $V$ conecte el volumen de la carga en la configuración final a la que le falta un trozo. Sin embargo, el campo eléctrico de una esfera a la que le falta un trozo no es simplemente $\vec{E}=\frac{q}{\epsilon_0r^2}$ . Al faltar el trozo, ha perdido por completo la simetría esférica que le permitió derivar el campo simple.

Para calcular el campo fuera de las dos esferas, usa directamente la carga completa en una distribución esférica $q=\frac{\ 4\pi R^3\rho}{3}$ en lugar de $q=\rho\frac{4\pi}{3}(R^2d + \frac{d^3}{4})$ . El resto de su mandato se ve bien. Si $d$ es lo suficientemente pequeño y las dos esferas se superponen, entonces el principio de superposición garantiza que dondequiera que se superpongan las esferas, el campo eléctrico de esas partes superpuestas se cancelará por completo porque tienen cargas iguales y opuestas. Se cuida solo sin que tengas que preocuparte por sacar manualmente la carga superpuesta calculando volúmenes.

El mismo principio vale para calcular el campo eléctrico dentro de las esferas. En realidad, es mucho más simple de lo que has escrito.

No entendí la parte que dijiste que debería usar toda la esfera para mi carga para calcular el campo exterior. ¿Por qué debería usar $q=\rho \frac{4}{3}\pi R^3$ ?
Las dos formas que desea superponer son una esfera positiva en d/2 y una esfera negativa en -d/2. Estas dos esferas no tienen agujeros. Para encontrar el campo y diferentes puntos en estas dos situaciones, necesitas usar la carga completa de una esfera. En la configuración final, cualquier área donde ambas esferas se superpongan naturalmente no tendrá carga solo por superposición, ya que $\rho+-\rho = 0$ . No tienes que hacer nada especial para que las secciones superpuestas se cancelen.

Campo eléctrico en el espacio creado por la intersección de esferas de carga [cerrado]

jontrav

Anubhav Goel

Respuestas (1)

monostío

jontrav

monostío

Fuerza de carga puntual en dipolo perfecto

Movimiento de un dipolo en un campo eléctrico.

Energía eléctrica del momento dipolar

¿Por qué el campo eléctrico de un dipolo no tiene componente xxx?

¿Dónde está el error en este cálculo de flujo? [cerrado]

Campo eléctrico de una esfera uniformemente cargada con una cavidad [cerrado]

¿Cómo aplico la ley de Gauss a cilindros conductores coaxiales?

Confusión sobre el componente de volumen en la Ley de Gauss para un cilindro

Campo eléctrico de tetraedro uniformemente cargado

Derivación general de la energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico externo