Campo eléctrico de tetraedro uniformemente cargado

¿Cómo calcular el campo eléctrico de un tetraedro arbitrario con densidad de carga uniforme en un punto arbitrario?

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Obtuve:

  • 4 vértices de tetraedro
  • carga total en culombios
  • punto en el que quiero calcular el vector de campo E

El punto puede estar fuera o dentro del tetraedro. La densidad de carga es uniforme en todo el volumen del tetraedro (¡no en la superficie!).

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Esto no es una tarea. Estoy escribiendo un programa de simulación para simular campos eléctricos alrededor y dentro de un objeto definido por su malla 3D. El campo a calcular es de todos los protones en un objeto. Se supone que se distribuyen uniformemente en todo el volumen. Imagine el campo de protones solo como si eliminara todos los electrones de valencia del metal, por lo que cada átomo tendría una carga de +1e. Estaba pensando en subdividir la malla en partes más pequeñas (tetraedros) y agregar cada campo de tetraedro en un punto particular.

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Se me ocurrió una solución para la parte del campo interno si se conoce la ecuación del campo externo. La idea es comprobar si el punto en el que queremos calcular el campo está dentro del tetraedro. Si no es así, calculamos el campo regularmente, si está dentro, elegimos un plano que contenga el borde de un tetraedro (o dos vértices cualesquiera) y ese punto. Este plano dividirá el tetraedro en dos más pequeños. Luego calculamos y agregamos campos de ambos. En este caso, se puede considerar que el punto está fuera de cada tetraedro más pequeño o se encuentra sobre sus superficies.

Esto suena como un problema desagradable. ¿Las ubicaciones de los vértices son arbitrarias? ¿El punto de observación es arbitrario? Podría ayudar un poco saber por qué quieres calcular esto.
La respuesta en la que estoy pensando implica una integral triple. Con variables de integración dentro de una raíz cuadrada. Y los límites tampoco son tan buenos. No me apetece resolverlo ahora mismo, lo siento.
Para el exterior, puede hacer una expansión multipolar. Si mantiene un orden suficiente (octopolo y más allá), puede obtener una buena aproximación, incluso sorprendentemente cerca de la carga.

Respuestas (1)

Gracias por la edición. Ahora que sabemos que está haciendo esto numéricamente, la situación cambia.

Tu enfoque está bien. Subdivida el tetraedro en elementos de volumen pequeño, calcule el campo para cada uno y sume vectorialmente. Sin embargo, no hay necesidad de hacer subdivisiones, y no tienen que ser pequeños tetraedros. En su lugar, puede atravesar una cuadrícula cúbica tridimensional dentro del volumen del tetraedro. No estoy seguro, pero creo que sería mucho más fácil que intentar diezmar el tetraedro en otros más pequeños, a menos que ya tenga un código que lo haga.

Comience con una cuadrícula relativamente gruesa. Luego, hágalo más fino, digamos, un factor de dos, y compare el campo generado por esos dos cálculos. Si su cuadrícula realmente fuera tosca, las dos respuestas deberían ser incómodamente diferentes. Continúe haciendo la cuadrícula cada vez más fina en comparación con la cuadrícula anterior. Cuando la cuadrícula resultante deje de cambiar dentro de una pendiente tolerable, deténgase. Su cuadrícula es lo suficientemente fina; no habrá más ganancias al continuar, pero el tiempo de cálculo aumentaría.

Muchas gracias por la respuesta, pero creo que no será adecuado para la simulación casi en tiempo real. Otro problema con ese enfoque es que la cuadrícula perderá esquinas afiladas o picos a menos que la hagamos muy fina. Encontré una solución para el segmento de línea ( physicstasks.eu/659/charged-line-segment ) y creo que es posible derivar soluciones para superficie finita y volumen finito como tetraedro, incluso si esta será una tarea compleja. Simplemente no sé cómo empezar, o dónde buscar.
Una solución de forma cerrada, que es probablemente lo que necesita para la velocidad, será difícil de encontrar. El caso general no permite el uso de simetrías y aproximaciones simplificadoras. Otra opción podría ser configurar las integrales y encontrar expresiones de series de convergencia rápida para las integrales. Esto podría ser más difícil que encontrar soluciones de forma cerrada. La idea de (@AHusain es algo así; considéralo seriamente). Podría intentar establecer la integral completa y buscar ideas en una buena tabla de integrales. O pruebe un CAS (Sistema de álgebra computacional). Suena como un problema difícil.
Gracias. Tengo una idea más. ¿Es posible calcular los potenciales eléctricos en cada vértice y luego derivar el campo a partir de ellos? Al menos podré precalcularlos porque los vértices son fijos.
Sí, pero todavía no veo lo que tienes en mente. Tendrás el potencial en cada uno de los cuatro vértices. ¿Qué harás con esa información?
Sé que es posible calcular el vector de campo E en cualquier punto dado solo los potenciales. La pregunta es si esos potenciales darán buen resultado.
Sí, pero necesita el potencial en cada punto del espacio, no solo los vértices.
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