Confusión sobre el componente de volumen en la Ley de Gauss para un cilindro

Actualmente estoy trabajando en un problema en el que usamos la Ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico dentro de una capa cilíndrica infinitamente larga (radio interior r, radio exterior R) de densidad de carga $\rho = \rho_0 \sqrt{\frac{r}{s}}$de r a R. Me estoy confundiendo bastante sobre la forma correcta de calcular el $Q_{encl}$(carga adjunta) en el lado derecho de la ecuación de la Ley de Gauss. Aquí es donde estoy:

$$\int E \bullet da = \frac {Q_{encl}} {\epsilon_0}$$ $$E \int da = \frac {Q_{encl}} {\epsilon_0} = E (2\pi s l)$$ ( $2\pi s l$es el área de superficie de un cilindro en la que estaría el flujo, ya que no hay flujo a través de los extremos.) $$Q_{encl}= ?$$ Al integrar para encontrar la carga encerrada, estoy integrando desde 0 a algunos s genéricos donde $r<s<R$porque queremos que la respuesta final sea una función de s.

He intentado lo siguiente para el cargo adjunto:

1. $$Q_{encl}= \rho \bullet V_{cylinder}$$ $$= 2\pi l {\int \rho(s) ds}^2$$ (Integral entera al cuadrado) Lo que dio: $$E = \frac {2{\rho_0}^2 a} {\epsilon_0}$$ Por la lógica de que el volumen de un cilindro es $2\pi s^2 l$para alguna longitud l (aunque sea infinita, elija una superficie gaussiana de un cilindro de longitud l; la longitud debería cancelarse al final), por lo que la carga encerrada es $2 \pi l$y luego $\int \rho (s) ds$al cuadrado se encarga de la $s^2$componente del volumen.

También probé:

2. $$Q_{encl} = \int \rho (s) d\tau$$ (la definición de $Q_{encl}$¿Creo?) $$Q_{encl} = \int \int \int \rho (s) s ds d\phi dz$$ $$Q_{encl} = \int \int \int \rho_0 a^{1/2} s^{-1/2} s ds d\phi dz$$ $$= \frac {4\pi l \rho_0 \sqrt{a} s^{3/2}}{3\epsilon_0}$$ que dio:

$$E = \frac {2\rho_0} {3\epsilon_0} \sqrt{as}$$

1. ¿Me estoy perdiendo una s aquí en la integral de $\rho (s)$porque en coordenadas cilíndricas, la componente ds de $d\tau$es $s \bullet ds$? ¿No debería haber elevado al cuadrado la integral? Esto no parece correcto porque la respuesta final no depende de s.

2. No estaba seguro de haber integrado correctamente para $d\phi$y $dz$. los $2\pi$Creo que viene de la $d\phi$integración, y luego hace el $l$ven de la $dz$¿integración? Esto tiene sentido lógico, pero no estoy seguro de cómo mostrarlo explícitamente en mi integración.

¿Qué método es correcto, si alguno? ¿Me estoy perdiendo algo que usa r y R, o no importa que sea un cilindro hueco dado que solo me preocupa el área entre r y R? ¿Cómo/dónde incluiría eso? Parece que debería importar porque la carga encerrada sería mayor de 0 a algunos genéricos si fuera un cilindro sólido (que encierra más volumen). ¿Simplemente integraría de r a s genérico? Estoy pensando que tal vez 1. y 2. den el mismo resultado si se hacen correctamente (como si hiciera las correcciones que mencioné en 1. justo arriba). Creo que mi cálculo multivariable está bastante oxidado. Realmente me estoy confundiendo con esta expresión de carga adjunta y quiero asegurarme de que la estoy calculando correctamente.

Lo siento si esta es una pregunta tonta y siento que esta es una publicación tan larga; Quería ser minucioso. ¡Cualquier ayuda u orientación es apreciada!