¿Dónde está el error en este cálculo de flujo? [cerrado]

Considere un cargo,$q$, que emite un campo eléctrico dado por

$$\mathbf{E}=\frac{kq}{r^2}\mathbf{u_r}.$$ Considere un bucle circular de radio $R$y elige un sistema de coordenadas tal que el centro $O$del bucle es el origen, y el eje de rotación del bucle coincide con el eje x. Un cargo $q$está a distancia $x$de $O$a lo largo del eje x, y nos gustaría calcular el flujo eléctrico a través del área encerrada por la espira.

Parece un cálculo bastante simple: integre el flujo a través del ciclo mediante la integración de shell. El flujo infinitesimal a través de un anillo de espesor$dr$y radio interior$r$es

$$d\Phi=(2 \pi r dr)E(r)\sin(\theta)$$ dónde $\theta$es el ángulo entre el campo y el plano de la espira, y $E(r)$es la intensidad de campo en un punto del bucle a una distancia $r$desde el centro

Por geometría tenemos$\sin(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}$. También$E(r)=\frac{kq}{x^2+r^2}$.

Por eso

$$d\Phi=\frac{\pi kqxr}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}.$$

Integrando sobre todas las conchas (annuli) como$r$oscila entre$0$y$R$, obtenemos

$$\Phi=\int_{o}^{R}d\Phi=\int_{o}^{R} \frac{\pi kqxr}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}dr.$$

Si calculé la integral correctamente, obtengo

$$\Phi=2\pi kq(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}})$$

Entonces el flujo tiende a cero cuando$R$tiende a cero (el área se vuelve más pequeña) y como$x$va al infinito (el campo se vuelve más débil), como se esperaba. El único problema es si$x=0$, la expresión anterior da un valor distinto de cero para el flujo, lo que no tiene sentido, ya que el campo es radial y, por lo tanto, si la carga se coloca en el centro del bucle, el flujo a través del bucle debe ser cero.

No estoy seguro de dónde me equivoqué.